数学模型

• 楼梯模型：平移横竖段巧求台阶周长 楼梯模型利用平移把台阶状折线的所有水平段拼成一条底边、所有竖直段拼成一条高，得出阶梯形周长等于其外接长方形周长的结论；是平移法求周长最典型的应用。
• 等高模型（分田模型）：共高三角形面积比等于底之比 等高模型给出共用同一条高（或同一顶点）的两个三角形，面积比等于对应底边之比的结论；因形似从同一块田里按底分田得名，是面积比、线段比互化的核心模型。
• 等积变形模型：顶点滑动面积不变 等积变形模型研究底不变、顶点沿与底平行的直线滑动时三角形面积不变的规律：同底等高的三角形面积相等，是三角形面积转化最基础的手法，俗称「拉窗帘」。
• 割补法求面积：剪下一块平移过去 割补法求面积是把不规则图形沿高剪下一块，平移到另一侧拼成规则图形（长方形或平行四边形）的方法：割前割后总面积不变，是推导平行四边形、三角形、梯形面积公式的共同思路。
• 格点面积模型（皮克定理）：数点就算面积 格点面积模型给出顶点都在格点上的多边形面积公式：面积等于内部格点数加边界格点数的一半减 1（皮克定理）。只需数点即可求面积，是格点图、点阵图求面积的通法。
• 蝴蝶模型（风筝模型）：交叉对角线两侧等积 蝴蝶模型给出任意四边形被两条对角线分成四个小三角形后，相对两组小三角形面积乘积相等；若有一组对边平行，则两侧翅膀面积相等。图形形似蝴蝶，是小学奥数面积题的经典模型。
• 燕尾模型：共线分点把面积比传到两边 燕尾模型给出：在三角形 ABC 中，若 D 在 BC 上、P 在 AD 上，则左右两侧三角形 ABP 与 ACP 的面积比等于底边被分的两段之比 BD 比 DC。因辅助线形似燕尾得名，是面积比互相转化的经典模型。
• 一半模型：矩形里顶边三角形占一半 一半模型给出矩形、平行四边形中，顶点在一边上、底边在对边上的三角形面积恒为整个图形面积一半的结论；是面积等分、阴影面积题中出镜率最高的小学几何模型。
• 花瓣四圆模型：四圆过心围成的花瓣面积 花瓣四圆模型研究四个半径相同的等圆围成的花瓣阴影面积：四圆的圆心分居正方形四边中点、都经过正方形中心，每片花瓣由两个四分之一圆叠出，花瓣总面积等于两个圆面积减一个正方形面积。
• 外方内圆模型：正方形内切圆面积比 外方内圆模型研究正方形内最大内切圆与正方形的边长、周长、面积关系：圆的直径等于正方形边长，面积比为 π 比 4，四个边角面积和为正方形减圆的面积。
• 铅笔模型：平行线间拐点的角度关系 铅笔模型是两条平行线之间夹一个拐点的折线结构，过拐点作平行线即可把三个角集中起来：笔尖角等于笔尖同侧两个尾角之和，是平行线求角的基本功模型。
• 猪蹄模型：平行线间同向拐点 猪蹄模型研究两条平行线之间的同向拐点折线：拐点朝同一侧开口时，中间角等于两端角之和，过拐点作平行线用内错角一分为二即可证明。
• 8字模型：对顶三角形的角度与相似 8字模型由共顶点的对顶角连接两对端点构成，形如数字 8。一般情形给出两组角之和相等，上下两边平行时升级为相似三角形，对应边成比例。
• 婆罗摩笈多模型：共顶点双直角出全等 婆罗摩笈多模型指两个直角三角形共直角顶点且两组边分别相等，一个三角形可看作另一个绕顶点旋转90°，从而对应对角线相等且互相垂直。
• 飞镖模型：凹四边形的角度关系 飞镖模型刻画凹四边形的角度结构：凹点处的优角等于其余三个内角之和，即∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP，延长 AP 用两次外角定理即可证明。
• 将军饮马模型：轴对称求最短路径 将军饮马模型研究定直线同侧两定点到线上动点的折线长度和最小问题，核心手法是作对称点把折线拉直，最小值就是对称点与另一定点间的线段长。
• 角平分线四大模型：一平分四法宝 角平分线四大模型汇总角平分线的四种标准用法：向两边作垂线得等距、沿平分线翻折截等段出全等、平分线遇平行出等腰、分对边成比例，一张图看清何时用哪招。
• 脚拉脚模型：共顶点等腰出全等 脚拉脚模型指两个等腰三角形共用顶点且顶角相等，交叉连接两组底角端点（脚拉脚）后由SAS得全等，对应连线相等，夹角等于顶角。
• 截长补短模型：线段和差的全等转化 截长补短模型处理求证一条线段等于另两条线段之和差的题目：在长线段上截取等段（截长）或把短线段延长补齐（补短），把和差关系化为相等关系再证全等。
• 锯齿模型：平行线间多拐点折线的长度转化 锯齿模型研究两条平行线之间的多拐点折线：所有水平段长度和等于折线两端点间的水平距离，所有竖直段长度和（各段同向、不折返时）等于两平行线间距离；是平移法求折线长度的推广。
• 平行四边形模型：性质与判定的双向应用 平行四边形模型整合性质与判定：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定有五种方法，是四边形问题的基础框架。
• 十字架模型：正方形内垂直即相等 十字架模型刻画正方形内两组对边上各取一点连成的两条线段：只要互相垂直，就必然相等，反之亦然，本质是△ABE≌△BCF的旋转全等。
• 双角平分线模型：两线交点的夹角公式 双角平分线模型给出三角形两个内角的平分线夹角公式：两角平分线交于一点，该角等于 90° 加上第三个角的一半；一内一外、两外平分线也各有固定公式，只需内角和即可秒算。
• 双中点模型：中位线的判定与用法 双中点模型指三角形两边中点的连线即中位线：它平行于第三边且等于第三边的一半，既能正用求长度，也能逆用造平行，是中点条件转化的第一选择。
• 梯子模型：滑动中的定长斜边 梯子模型研究定长线段两端在两条互相垂直的直线（墙与地面）上滑动的问题：由直角三角形斜边中线定理，梯子中点到墙角的距离恒为梯长的一半，故中点的轨迹是一段以墙角为圆心的圆弧。
• 赵爽弦图模型：以形证数证勾股 赵爽弦图是在大正方形四边上截取等长线段、内接一个小正方形的图形：四个角上是全等的直角三角形，中间是正方形，用面积拼合即可证明勾股定理，并衍生出一系列边长与面积计算模型。
• 中点四边形模型：顺次连接四边中点 中点四边形模型研究顺次连接任意四边形四边中点所得的图形：它一定是平行四边形（瓦里尼翁定理），其形状由原四边形两条对角线的数量与位置关系决定——对角线相等则为菱形、垂直则为矩形。
• 中点四大模型：倍长中线与中位线 中点四大模型是围绕线段中点的四类辅助线构造：倍长中线、中位线、斜边中线、中点四边形，分别把中点转化为全等、平行半长、等距与特殊四边形，是几何证明的常备工具箱。
• 阿氏圆模型：定比点圆与最值转化 阿氏圆模型利用圆外定点关于圆的反演点，把圆上动点到定点的距离换成定比关系，从而将 PA 加 k 倍 PB 的最值问题转化为两点之间线段最短，是圆中最值的利器。
• A字模型：平行线截出的相似三角形 A字模型指三角形中一条边的平行线截出的小三角形与原三角形相似，对应边成比例，形如字母 A。它是相似三角形应用中最基础的图形，也是中位线定理的母体。
• 半角模型：正方形中的45°角 半角模型指正方形内从顶点引出的 45° 角（直角的一半），两边分别交两邻边于 E、F，则 EF 恒等于 BE 与 DF 之和，证法是把一个三角形绕顶点旋转 90° 拼合。
• 倍角模型：二倍角拆出等腰三角形 倍角模型处理一个三角形中「一个角是另一个角两倍」的问题：作倍角的角平分线把二倍角拆成两个等角，其中一个与小角配对得到等腰三角形，再配合相似三角形得到边长乘积关系。
• 垂径定理模型：直径垂直弦则平分弦 垂径定理模型给出：直径垂直于弦，则直径平分这条弦；逆定理也成立。是圆中求弦长、圆心距、半径的核心工具。
• 对角互补模型：互补即共圆 对角互补模型利用四边形对角和为180°等价于四点共圆：一旦共圆，同弧圆周角相等、外角等于内对角等工具全部解锁，是把四边形问题搬进圆里的钥匙。
• 反A字模型：对顶角下的平行相似 反A字模型指小三角形的两边分别落在大三角形两边的反向延长线上且底边平行，借对顶角与内错角证得两三角形相似，比值沿共线边传递。
• 反8字模型：平行线夹出的蝴蝶相似 反8字模型指两条平行线段被两条交叉连线连接，交点处对顶角配合内错角立刻给出一对相似三角形，四段交叉线段成比例，是梯形对角线问题的骨架。
• 折叠模型：翻折前后的不变量 折叠模型研究图形沿一条直线翻折的问题：翻折本质是轴对称变换，折痕是对称轴，翻折前后对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线；抓住这些不变量，再配合勾股定理或相似三角形列方程即可。
• 费马点模型：三角距离和最小 费马点模型求三角形内到三顶点距离之和最小的点：三内角均小于 120° 时，该点对三边的张角均为 120°，可用旋转 60° 把三段折线拉直求解，是平面几何最值的经典模型。
• 瓜豆模型：主从联动的轨迹相似 瓜豆模型研究主动点沿确定轨迹运动时，从动点的轨迹问题：两动点与定点之间保持定角、定比（旋转加缩放），则从动点的轨迹与主动点的轨迹形状相同，长度成定比。
• 胡不归模型：加权路径最短问题 胡不归模型求 PA 加 k 倍 PB（k 小于 1）的最小值，核心手法是构造正弦为 k 的角，把带系数的线段转化为垂线段，再用垂线段最短一锤定音，是折射定律的几何原型。
• 梅涅劳斯定理模型：三点共线的比例判定 梅涅劳斯定理给出一条直线截三角形三边（或延长线）所得三点共线的充要条件：三边被分点分成的比例乘积等于 1，是判定三点共线的核心工具。
• 母子相似模型：直角三角形斜边高 母子相似模型指直角三角形斜边上的高把原三角形分成两个小三角形，三者两两相似如母子相依，由此推出射影定理三组乘积等式，是边长计算的快车道。
• 内心模型：角平分线交点与内切圆 内心模型研究三角形三条角平分线的交点：它是内切圆的圆心，到三边距离相等；用面积法可把内切圆半径与三边、面积联系起来，配合切线长定理处理切点分段问题。
• 鸟头模型（共角模型）：共角三角形面积比等于夹边乘积比 鸟头模型（共角定理）给出有一个角相等或互补的两个三角形，面积比等于夹这个角的两组对应边乘积之比；当截线平行于底边时退化为相似三角形，是面积比与线段比互化的常用模型。
• 切线长定理模型：圆外一点两切线相等 切线长定理模型给出：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；是圆外点与切线关系的核心结论。
• 切线判定定理模型：垂直半径则切线 切线判定定理模型给出：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；是判定直线与圆相切的核心方法。
• 塞瓦定理模型：三线共点的比例判定 塞瓦定理给出三角形三条从顶点出发的线段共点的充要条件：三边被分点分成的比例乘积等于 1，是判定三线共点的核心工具。
• 三垂直模型：一线三直角出全等 三垂直模型指同一直线上立起三个直角：两侧垂线加中间一个直角顶点，立刻推出两三角形相似；再加一组斜边相等即升级为全等，是坐标几何与全等证明的双料工具。
• 沙漏模型：梯形里的平行截割相似 沙漏模型研究三角形顶点被平行于底边的直线截割后，截线与底边、两腰构成的大小两个相似三角形：对应边成比例、截线比等于顶距比，是小学奥数与初中相似三角形的衔接模型。
• 手拉手模型：共顶点旋转出全等 手拉手模型指两个等边三角形（或等腰三角形）共顶点放置，连接两对拉手线必得一组旋转全等，拉手线等长且夹角等于旋转角，是旋转全等的标志性图形。
• 四点共圆模型：对角互补与圆周角相等 四点共圆模型给出判定四点共圆的两条核心路径：对角互补或同侧圆周角相等；在解题中用于转化角关系、构造辅助圆、求轨迹。
• 托勒密定理模型：圆内接四边形对角线乘积 托勒密定理给出圆内接四边形对角线乘积等于两组对边乘积之和：$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$，是圆内接四边形边长与对角线关系的核心。
• 外心模型：中垂线交点与外接圆 外心模型研究三角形三边垂直平分线的交点：它是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等；外心的位置随三角形类型移动（锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外），并把圆周角与圆心角关系引入三角形问题。
• 弦切角模型：切线与弦的夹角等于圆周角 弦切角模型给出切线与弦的夹角等于所夹弧上的圆周角：弦切角 = 圆周角，是切线问题中角转化的核心工具。
• 旋转相似模型：共点三角形的拉手线 旋转相似模型研究共顶点的两个相似三角形：大三角形由小三角形绕公共顶点旋转并放大得到，对应顶点连线（拉手线）本身也构成一对相似三角形，且拉手线之比等于相似比、夹角等于共点顶角。
• 一线三等角模型（K型）：同线等角出相似 一线三等角模型指三个相等的角的顶点落在同一直线上，两侧各连出一个三角形，必然相似；直角特例称一线三垂直或 K 型，是全等与相似证明的高频工具。
• 隐圆模型：看不见的辅助圆 隐圆模型处理题面中没有圆、但动点满足「到定点距离定长」或「对定线段张定角」等条件的问题：把隐藏的圆补画出来，动点就被锁定在圆上，再用圆周角、点与圆的位置关系求路径与最值。
• 圆幂定理模型：相交弦、切割线与割线 圆幂定理模型统一给出点与圆的位置关系中的线段乘积：相交弦、切割线、割线三种情形，线段乘积为定值（幂），是圆中线段计算的核心。
• 圆周角定理模型：同弧圆周角相等 圆周角定理模型给出：同弧或等弧上的圆周角相等，且等于同弧所对圆心角的一半；是圆中角关系转化的核心工具。
• 阿基米德折弦定理模型：折弦中点与垂足 阿基米德折弦定理给出：折弦所对弧（含折点的弧）的中点，向折弦中较长的一段弦作垂线，垂足把折弦总长平分（长段远端部分等于短弦加长段近端部分）；是圆中折线段和差的经典结论。
• 最大张角模型：米勒定理与切线定位 最大张角模型解决两定点在定直线同侧时，动点在直线上何处对两定点张角最大的问题：过两定点作与直线相切的圆，切点就是张角最大的位置（米勒定理）。
• 条件最值模型：带着约束求最大最小 条件最值模型研究变量满足某个等量关系时目标式的最大最小值，解法从小学放缩到拉格朗日乘数法层层升级，是一题多解的典型载体。