中点四大模型：倍长中线与中位线

求解策略

1. 倍长中线：遇中线想转移线段，倍长后连端点出全等
2. 中位线：遇两边中点相连，直接得平行与半长
3. 斜边中线：直角三角形斜边中点到三顶点等距，造等腰出等角
4. 中点四边形：任意四边形四边中点连线必为平行四边形

模型结构

$△ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，把中线 $AD$ 倍长到 $E$（使 $DE=AD$），连接 $BE$。$A$ 与 $E$ 关于 $D$ 中心对称，全等结构随之浮现。图中展示的是四大模型之首——倍长中线。

核心结论与推导

倍长中线：$△ADC\cong △EDB$，从而 $BE=AC$，$BE\parallel AC$。

证明：$D$ 为 $BC$ 中点得 $DB=DC$；$DE=DA$（倍长）；$\angle EDB=\angle ADC$（对顶角）。SAS 全等成立，故 $BE=AC$，且 $\angle DBE=\angle DCA$，内错角相等给出 $BE\parallel AC$。$■$

其余三大模型：

• 中位线：$AB$、$AC$ 中点相连，$MN\parallel BC$ 且 $MN=\frac{1}{2}BC$；
• 斜边中线：直角三角形斜边中点到三顶点等距，$MD=\frac{1}{2}BC$；
• 中点四边形：任意四边形四边中点顺次相连，必为平行四边形。

典例精析

例：$△ABC$ 中，$AB=5$，$AC=7$，$BC$ 边上的中线 $AD=4$，求 $BC$。

解：倍长 $AD$ 至 $E$ 使 $DE=AD$，连 $BE$，则 $BE=AC=7$，$AE=8$。在 $△ABE$ 中由余弦定理，$\cos \angle BAE=\frac{A{B}^2+A{E}^2-B{E}^2}{2\times AB\times AE}=\frac{25+64-49}{2\times 5\times 8}=\frac{1}{2}$，故 $\angle BAE=60°$。由于 $A$、$D$、$E$ 共线，再在 $△ABD$ 中 $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 60°=25+16-20=21$，故 $BD=\sqrt{21}$，$BC=2BD=2\sqrt{21}$。

点评：倍长中线把「中线条件」翻译成「可解三角形的边条件」，是处理中线长度问题的通法。

常见变式

1. 倍长类中线：$D$ 不是中点而是定比分点时，倍长改为按比例延长，全等变相似。
2. 双中点连线：三角形两边中点、四边形对角线中点与两边中点，都走中位线路径。
3. 中点 + 垂直：中点配垂线联想垂直平分线，中点配直角联想斜边中线。

对比与联系