割补法求面积：剪下一块平移过去

割补法求面积是把不规则图形沿高剪下一块，平移到另一侧拼成规则图形（长方形或平行四边形）的方法：割前割后总面积不变，是推导平行四边形、三角形、梯形面积公式的共同思路。

结构：平行四边形 $ABCD$ 中 $DE$ 是竖直的高（虚线），沿 $DE$ 剪下左侧三角形 $ADE$ ；底边延长到 $F$ （虚线），把三角形平移补到 $BCF$ 处，拼成长方形 $DEFC$ 。

标准形：面对不能直接用公式的多边形，沿高割下一部分平移补全为长方形或平行四边形，再计算面积。

适用前提与边界条件

割下的部分必须恰好能补到空缺处：沿高竖直剪开、平移距离等于底边方向的缺口长度
割补只改变形状不改变面积，割补前后总面积严格相等

求解策略

定高：找出（或作出）图形的高，如平行四边形的 $DE$
分割：沿高剪开，分出一个三角形或直角梯形
平移补全：把割下的部分平移到另一侧恰好补成长方形
算积：新图形面积 $=$ 长 $\times$ 宽，它就是原图形面积

模型结构

如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $D E$ 是竖直的高（虚线），垂足 $E$ 在下底 $A B$ 上。沿 $D E$ 剪下左侧三角形 $A D E$ ；把下底向右延长到 $F$ （ $B F$ 、 $C F$ 为虚线），将三角形 $A D E$ 平移补到 $B C F$ 的位置，恰好拼成长方形 $D E F C$ 。

沿高 DE 剪下三角形 ADE，平移补到 BCF 处，平行四边形割补成长方形 DEFC

核心结论与推导

结论：割补前后面积相等，

$S_{平行四边形 A B C D} = S_{长方形 D E F C} = 底 \times 高 .$

推导：平移不改变图形的形状和大小，割下的三角形 $A D E$ 与补入的三角形 $B C F$ 完全重合。割补只是把同一总面积换了一种摆法：

$S_{A B C D} = S_{梯形 D E B C} + S_{△ A D E} = S_{梯形 D E B C} + S_{△ B C F} = S_{D E F C} .$

长方形 $D E F C$ 的长是平行四边形的底、宽是平行四边形的高，所以 $S_{平行四边形} = 底 \times 高$ 。 $■$

典例精析

例：如图，平行四边形 $A B C D$ 的底 $A B = 8 cm$ ，高 $D E = 5 cm$ 。沿高割补成长方形后，求平行四边形的面积。

解：割补成长方形 $D E F C$ 后，长为 $8 cm$ 、宽为 $5 cm$ ，割补前后面积相等：

$S_{A B C D} = 8 \times 5 = 40 cm^{2} .$

常见变式

三角形翻倍割补：两个完全一样的三角形拼成平行四边形，回推得三角形面积等于等底等高平行四边形面积的一半。
梯形翻倍割补：两个完全一样的梯形旋转平移后拼成平行四边形，推出梯形面积公式。
组合图形割补：楼梯形、L 形等组合图形，分段割补成长方形的和或差。

对比与联系

方法	动作	拼成	推出的公式
平行四边形割补	沿高剪下平移	长方形	$S =$ 底 $\times$ 高
三角形翻倍拼	两三角形拼合	平行四边形	$S =$ 底 $\times$ 高 $\div 2$
梯形翻倍拼	两梯形拼合	平行四边形	$S = ($ 上底 $+$ 下底 $) \times$ 高 $\div 2$
楼梯平移	各段横竖平移	大长方形	周长等于大长方形周长

正例与反例

✅ 正例

平行四边形 $ABCD$ 沿高 $DE$ 剪下三角形 $ADE$ ，平移到右侧补上三角形 $BCF$ ，拼成长方形 $DEFC$

❌ 反例

不沿高斜着剪开，补出的图形四个角不是直角，不能当长方形计算面积

高频误解与考试易错

剪开方向错误：不沿高剪，拼出的图形不是长方形，长和宽对不上
补完后多算或少算面积：割补前后面积相等，新图形面积就是原图形面积，不要另加原图形
把割补当翻转：割下的部分是平移过去的，不是翻转或旋转，方向不能颠倒

常见问题

割补法最核心的思想是什么？

「出入相补」：从一处「出」（割下）的面积，原样「入」（补）到另一处，总面积不变。把不会算面积的图形变成会算的长方形。

三角形、梯形面积公式也能用割补法得到吗？

能。三角形两个完全一样的三角形可拼成一个平行四边形（面积翻倍），故三角形面积是「底乘高除以 2」；梯形两个完全一样的梯形可拼成一个平行四边形，故梯形面积是「（上底加下底）乘高除以 2」。

割补和平移有什么关系？

割下的图形块是靠平移送到补全位置的，平移不改变图形的形状和大小，这正是「恰好补得上」的保证。

依据与出处

人教版（2024 审定）五年级上册第六单元《多边形的面积》（平行四边形的面积）