倍角模型：二倍角拆出等腰三角形

求解策略

1. 认倍角：由内角和与已知角找出 $\alpha=2\beta$ 的关系
2. 拆倍角：作角平分线，把 $\alpha$ 分成两个 $\beta$
3. 出等腰：拆出的 $\beta$ 与原有的 $\beta$ 配对，等角对等边
4. 推关系：公共角配等角得相似，写乘积式；边长比例直接用角平分线定理

模型结构

如图，$△CAB$ 是直角三角形，$\angle CAB=90°$，两个锐角分别为

$\angle ABC=60°,\angle ACB=30°,$

二者恰成二倍关系：$\angle ABC=2\angle ACB$，即倍角是 $\angle B$。图中 $AD$ 平分直角 $\angle CAB$，于是

$\angle DAB=\angle DAC=45°.$

要特别注意：图中的 $AD$ 平分的是直角 $\angle A$ 而不是倍角 $\angle B$，所以它不是本模型的特征辅助线，只可用于第 3 条角平分线定理。图中虚线 $BE$ 才是倍角模型的特征辅助线——平分倍角 $\angle B$ 交 $AC$ 于 $E$。一般地，任意三角形中若一个内角等于另一个内角的两倍（$\alpha =2\beta$），作倍角的角平分线，才是倍角模型的通用结构。

核心结论与推导

结论（一般形式）：设三角形中 $\angle A=2\angle B$，角平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$，则

1. $AD=BD$（$△ABD$ 等腰）；
2. $△ACD\backsim △BCA$，且 $A{C}^2=CD\cdot CB$；
3. $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$（角平分线定理）。

证明：因 $AD$ 平分 $\angle A$，故 $\angle DAB=\frac{1}{2}\angle A=\angle B$，由等角对等边得 $AD=BD$。

又 $\angle CAD=\frac{1}{2}\angle A=\angle B$，且 $\angle C$ 为 $△ACD$ 与 $△BCA$ 的公共角，故

$△ACD\backsim △BCA,$

对应边成比例：$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CA}$，交叉相乘得

$A{C}^2=CD\cdot CB.■$

套入图中字母：设 $AB=a$，则 $BC=2a$，$AC=\sqrt{3}a$。作倍角 $\angle B$ 的平分线交 $AC$ 于 $E$，则 $\angle ABE=\angle EBC=30°=\angle C$，故 $△BEC$ 等腰，$BE=EC$；又 $\angle A$ 公共、$\angle ABE=\angle C$，故 $△ABE\backsim △ACB$，得 $A{B}^2=AE\cdot AC$。由角平分线定理

$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2},$

即 $AE=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，$EC=BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$。

（图中画出的直角平分线 $AD$ 只对应第 3 条：$\angle ADB=180°-60°-45°=75°$，且 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，但 $△ABD$ 并非等腰，不能套用第 1、2 条。）

典例精析

例：如图，$\text{Rt}△CAB$ 中 $\angle A=90°$，$\angle B=60°$，$\angle C=30°$，$AB=2$。作倍角 $\angle B$ 的平分线交 $AC$ 于 $E$，求 $AE$、$EC$ 与 $BE$ 的长。

解：由 $30°$ 角所对直角边等于斜边一半，斜边 $BC=2AB=4$，$AC=2\sqrt{3}$。平分线把倍角拆成两个 $30°$：$\angle ABE=\angle EBC=30°=\angle C$，故 $△BEC$ 等腰，$BE=EC$。由角平分线定理，

$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

按比例分配 $AC=2\sqrt{3}$：

$AE=\frac{1}{3}AC=\frac{2\sqrt{3}}{3},EC=BE=\frac{2}{3}AC=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

点评：先认准倍角是 $\angle B=60°$、平分 $\angle B$ 才能拆出 $30°=\angle C$ 的等腰；若像示意图那样去平分直角，拆出的 $45°$ 与 $60°$ 配不上对，模型结论 1、2 就落空了。

常见变式

1. 延短边造等腰型：延长较短边截取线段构造等腰三角形，把二倍角转移为外角，常用于证明平方差关系。
2. 半特殊角型：$15°$、$22.5°$、$75°$ 等角常藏着二倍角关系（如 $30°=2\times 15°$），配合本模型求边长。
3. 外角倍角型：三角形一个外角等于某内角的两倍时，在延长线上同样能拆出等腰三角形。

对比与联系