脚拉脚模型：共顶点等腰出全等

求解策略

1. 认结构：共顶点、双等腰、等顶角，锁定脚拉脚
2. 凑夹角：用公共角推出 $\angle AOD=\angle BOC$
3. 证全等：SAS 得 $\triangle AOD \cong \triangle BOC$，取 $AD=BC$
4. 用夹角：连线夹角等于顶角，配合角度计算或垂直判定收尾

模型结构

$O$ 是公共顶点，两条射线 $OA$、$OB$ 张成 $60°$ 角；$D$ 在射线 $OB$ 上，$C$ 在 $\angle AOB$ 外侧并使 $\angle COD=60°$，且 $OA=OB$、$OC=OD$。两个等腰三角形 $△OAB$ 与 $△OCD$ 同顶点、同顶角、同向张开，交叉连接「脚」$A$ 与 $D$、$B$ 与 $C$，全等即刻现身。

核心结论与推导

结论：$△AOD\cong △BOC$，$AD=BC$，且 $AD$ 与 $BC$ 的夹角等于顶角。

证明：由 $\angle AOB=\angle COD$，两边同加 $\angle BOD$ 的公共部分（或按图形位置作差），得

$\angle AOD=\angle BOC.$

在 $△AOD$ 与 $△BOC$ 中，$OA=OB$、$\angle AOD=\angle BOC$、$OD=OC$，故

$△AOD\cong △BOC(\text{SAS})\Rightarrow AD=BC.$

夹角结论用旋转看得最直接：把 $△AOD$ 绕 $O$ 旋转顶角 $\theta =\angle AOB$，则 $OA$ 与 $OB$ 重合（$OA=OB$）、$OD$ 与 $OC$ 重合（$OD=OC$ 且 $\angle DOC=\theta$），线段 $AD$ 整体转到 $BC$，故 $AD$ 与 $BC$ 的夹角等于旋转角 $\theta$（即顶角）。$■$

典例精析

例：$OA=OB$，$OC=OD$，$\angle AOB=\angle COD=60°$（$D$ 在射线 $OB$ 上、$C$ 在 $\angle AOB$ 外侧，两三角形同向张开），$OA=4$，$OC=1.5$。求 $AD$ 的长及 $AD$ 与 $BC$ 的夹角。

解：由模型，$△AOD\cong △BOC$，$AD=BC$。在 $△AOD$ 中，$OA=4$、$OD=OC=1.5$、$\angle AOD=60°$，由余弦定理（或作高用含 $30°$ 角的直角三角形）：

$A{D}^2=4^2+1.5^2-2\times 4\times 1.5\cos 60°=16+2.25-6=12.25,$

$AD=3.5$。夹角等于顶角 $60°$。

点评：顶角 $60°$ 时也可用「补成等边」的技巧：延长 $OD$ 方向取等边三角形，把余弦计算化为勾股计算，考场更快。

常见变式

1. 顶角为直角：顶角换成 $90°$ 时连线垂直，即退化为婆罗摩笈多位形的结论。
2. 等边特化：两三角形都是等边时回到手拉手模型，夹角 $60°$。
3. 中点追问：取 $AD$、$BC$ 中点连线，结合中点性质继续命题，是全等之后的常规加问。

对比与联系