垂径定理模型：直径垂直弦则平分弦

求解策略

1. 认垂直：确认直径与弦垂直
2. 用定理：直径平分弦，$AE=EB$
3. 连半径：构造直角三角形 $OEA$
4. 用勾股：$OA^2=OE^2+AE^2$，求弦长或圆心距

模型结构

如图，圆 $O$ 中，直径 $CD\perp$ 弦 $AB$ 于 $E$，$OA$、$OB$ 为半径（虚线）。

核心结论与推导

结论（垂径定理）：$AE=EB$，且 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$，$\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$。

推导：连接 $OA$、$OB$，则 $OA=OB$（半径）。$OE\perp AB$，由等腰三角形三线合一，$OE$ 是底边 $AB$ 上的高，也是中线，故 $AE=EB$。$■$

逆定理：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦。

典例精析

例：圆 $O$ 半径为 $5$，弦 $AB=8$，求圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离。

解：作 $OE\perp AB$ 于 $E$，由垂径定理 $AE=\frac{AB}{2}=4$。在 $\text{Rt}△OEA$ 中，

$OE=\sqrt{O{A}^2-A{E}^2}=\sqrt{25-16}=3.$

常见变式

1. 求弦长：已知半径和圆心距，$AB=2\sqrt{r^2-d^2}$。
2. 求半径：已知弦长和圆心距，$r=\sqrt{d^2+(\frac{AB}{2}{)}^2}$。
3. 弧平分：直径垂直弦，也平分弦所对的两条弧。

对比与联系