等高模型（分田模型）：共高三角形面积比等于底之比

求解策略

1. 认共高：确认两个小三角形共用顶点 $A$、底边共线于 $BC$
2. 写比例：$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=BD:DC$
3. 互化：已知长度比可求面积比，已知面积比可求底边比
4. 特殊化：遇中点直接得面积相等（中线平分面积）

模型结构

如图，三角形 $ABC$ 中，$D$ 是底边 $BC$ 上的一点，连接 $AD$。线段 $AD$ 把大三角形分成两个小三角形 $ABD$ 与 $ACD$，它们从共同顶点 $A$ 到底边的高是同一条。

核心结论与推导

结论：

$S_{△ABD}:S_{△ACD}=BD:DC.$

推导：作 $A$ 到 $BC$ 的高 $h$。两个小三角形同用这条高，所以

$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot h,S_{△ACD}=\frac{1}{2}DC\cdot h.$

两式作比，$\frac{1}{2}$ 与 $h$ 全部约去，得

$S_{△ABD}:S_{△ACD}=BD:DC.■$

特别地，$BD=DC$（$D$ 为中点）时两三角形面积相等：三角形的中线平分面积。

典例精析

例：如图，三角形 $ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，$BD:DC=2:3$，三角形 $ABC$ 的面积是 $40{\text{ cm}}^2$。求两个小三角形的面积。

解：两个小三角形同高，面积按底分配：

$S_{△ABD}=40\times \frac{2}{2+3}=16{\text{ cm}}^2,$

$S_{△ACD}=40\times \frac{3}{2+3}=24{\text{ cm}}^2.$

常见变式

1. 多层分割型：$BC$ 上取多个分点，各小三角形面积比等于各底边段之比，可按比例分配总面积。
2. 内点连线型：三角形内部一点与三顶点相连，三个小三角形面积比等于各自底边比（燕尾模型的基础）。
3. 逆用求长型：已知两小三角形面积比，反求底边两段之比或分点位置。

对比与联系