阿氏圆模型：定比点圆与最值转化

Q: 为什么 $PB:PC$ 是定值？

由 $OC \cdot OB=OP^{2}$（注意 $OP=r$）得 $\frac{OC}{OP}=\frac{OP}{OB}$，加上公共角 $\angle POC=\angle BOP$，故 $\triangle OPC \sim \triangle OBP$，于是 $\frac{PB}{PC}=\frac{OB}{OP}=\frac{OB}{r}$ 为定值。

Q: 阿氏圆本来指什么？

阿波罗尼斯圆：平面上到两定点距离之比为定值（不为 $1$）的点的轨迹是圆。本模型用的是它的逆用——已知圆和圆外点，找圆内反演点造出定比。

Q: 怎么用它求最值？

把 $PA+k \cdot PB$ 中的 $k \cdot PB$ 换成 $PC$（$C$ 为反演点），问题变成圆上动点 $P$ 使 $PA+PC$ 最小，当 $P$ 落在线段 $AC$ 上时取等，最小值即 $AC$。

Q: 系数 $k$ 与图形怎么对应？

$k=\frac{r}{OB}$。$B$ 越远 $k$ 越小；给定 $k$ 也可反推应取的反演点 $C$ 使 $\frac{OB}{r}=\frac{1}{k}$。

阿氏圆模型：定比点圆与最值转化

阿氏圆模型利用圆外定点关于圆的反演点，把圆上动点到定点的距离换成定比关系，从而将 PA 加 k 倍 PB 的最值问题转化为两点之间线段最短，是圆中最值的利器。

结构：定圆 $O$ 半径 $r$ ， $B$ 为圆外定点， $C$ 是 $OB$ 上满足 $OC \cdot OB=r^{2}$ 的反演点， $P$ 为圆上动点，另有定点 $A$ 构成最值目标。

标准形： $\odot O$ 半径 $r$ ， $B$ 圆外定点， $C \in OB$ 且 $OC \cdot OB=r^{2}$ ，则圆上任意 $P$ 满足 $\frac{PB}{PC}=\frac{OB}{r}$ （定值）。

适用前提与边界条件

动点必须在定圆上滑动；动点在直线上时用胡不归模型而非本模型
反演点关系 $OC \cdot OB=r^{2}$ 是全部结论的根基，构造时位置不能错

求解策略

定反演点：在 $OB$ 上取 $C$ 使 $OC \cdot OB=r^{2}$
证母子相似： $\frac{OC}{OP}=\frac{OP}{OB}$ 加公共角，得 $\triangle OPC \sim \triangle OBP$
换系数： $k \cdot PB$ 换成 $PC$ （ $k=\frac{r}{OB}$ ），目标化为 $PA+PC$
线段最短： $P$ 取线段 $AC$ 与圆的交点，最小值即 $AC$

模型结构

$⊙ O$ 半径为 $r$ ， $B$ 是圆外定点（图中 $O B = 2 r$ ）， $C$ 在线段 $O B$ 上且 $O C \cdot O B = r^{2}$ （图中 $O C = \frac{r}{2}$ ），称 $C$ 为 $B$ 关于圆的反演点。 $P$ 在圆上滑动， $A$ 是另一个定点。

C 是 B 关于 ⊙O 的反演点，圆上任一点 P 满足 PB=2PC

核心结论与推导

结论：对圆上任意点 $P$ ， $\frac{P B}{P C} = \frac{O B}{r}$ 为定值（图中恒有 $P B = 2 P C$ ）。

证明：由 $O C \cdot O B = r^{2} = O P^{2}$ ，得 $\frac{O C}{O P} = \frac{O P}{O B}$ 。又 $∠ P O C = ∠ B O P$ （公共角），故

$△ O P C \sim △ O B P \Rightarrow \frac{P B}{P C} = \frac{O B}{O P} = \frac{O B}{r} .$

$■$

这是「母子相似」在圆中的经典应用，反演点关系是全部魔法的开关。

典例精析

例：如图， $⊙ O$ 半径 $r$ ， $O B = 2 r$ ， $A$ 为圆外定点。 $P$ 在圆上滑动，求 $P A + \frac{1}{2} P B$ 的最小值。

解：取 $O B$ 上点 $C$ 使 $O C = \frac{r}{2}$ （满足 $O C \cdot O B = r^{2}$ ），则圆上任意 $P$ 都有 $\frac{1}{2} P B = P C$ 。于是

$P A + \frac{1}{2} P B = P A + P C \geq A C,$

当 $P$ 为线段 $A C$ 与圆的交点时取等，最小值即 $A C$ 的长度。

点评：系数 $\frac{1}{2}$ 恰好等于 $\frac{r}{O B}$ 时，反演点一次构造到位，加权最值瞬间退化为普通折线最值。

常见变式

轨迹版：到两定点距离之比为定值 $k$ （ $k \neq = 1$ ）的点轨迹是圆，圆心在两定点连线上。
双定点版：给定 $A$ 、 $B$ 与圆上动点 $P$ ，求 $P A + k \cdot P B$ ， $k$ 与 $B$ 的位置匹配时直接反演。
与胡不归互判：动点在直线上用胡不归（构造角），在圆上用阿氏圆（反演点），先看动点轨迹再选工具。

对比与联系

模型	动点轨迹	化系数手法
将军饮马	直线	轴对称（系数 1）
胡不归	直线	构造角（系数 $k$ ）
阿氏圆	圆	反演点（系数 $k$ ）

正例与反例

✅ 正例

$\odot O$ 半径 $r$ ， $OB=2r$ ， $C$ 在 $OB$ 上且 $OC=\frac{r}{2}$ ，则圆上任一点 $P$ 满足 $PB=2PC$

❌ 反例

把 $C$ 取成 $OB$ 中点：中点不满足 $OC \cdot OB=r^{2}$ （除非 $OB=\sqrt{2}r$ ），定比不成立

高频误解与考试易错

反演点放错侧： $C$ 必须在线段 $OB$ 上（圆内），放到 $OB$ 延长线上比例全错
定比记反： $\frac{PB}{PC}=\frac{OB}{r}$ ，分子是到圆外点的距离，别写成 $\frac{r}{OB}$
最优点漏验证： $PA+PC$ 的最小值 $AC$ 要求线段 $AC$ 与圆有交点，否则最值在边界取得

常见问题

为什么

PB:PC

是定值？

由

OC \cdot OB=OP^{2}

（注意

OP=r

）得

\frac{OC}{OP}=\frac{OP}{OB}

，加上公共角

\angle POC=\angle BOP

，故

\triangle OPC \sim \triangle OBP

，于是

\frac{PB}{PC}=\frac{OB}{OP}=\frac{OB}{r}

为定值。

阿氏圆本来指什么？

阿波罗尼斯圆：平面上到两定点距离之比为定值（不为

1

）的点的轨迹是圆。本模型用的是它的逆用——已知圆和圆外点，找圆内反演点造出定比。

怎么用它求最值？

把

PA+k \cdot PB

中的

k \cdot PB

换成

PC

（

C

为反演点），问题变成圆上动点

P

使

PA+PC

最小，当

P

落在线段

AC

上时取等，最小值即

AC

。

系数

k

与图形怎么对应？

k=\frac{r}{OB}

。

B

越远

k

越小；给定

k

也可反推应取的反演点

C

使

\frac{OB}{r}=\frac{1}{k}

。

依据与出处

人教版（2024 审定）九年级上册第二十九章《圆》（2026 秋起使用；拓展延伸）

阿氏圆模型：定比点圆与最值转化

适用前提与边界条件

求解策略

模型结构

核心结论与推导

典例精析

常见变式

对比与联系

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

学习前置

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