折叠模型：翻折前后的不变量

求解策略

1. 定折痕：明确对称轴（折痕）及折叠后不动的点、成对的点
2. 写不变：对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线
3. 画落点：按轴对称画出 $B^{\prime}$ 的位置，判断落在边线上还是图形内
4. 列方程：在直角三角形中用勾股定理，或利用相似、面积建立方程

模型结构

如图，$△ABC$ 中，$D$ 是边 $BC$ 上一点。将 $△ABD$ 沿直线 $AD$ 翻折，点 $B$ 的对应点为 $B^{\prime }$，翻折后的对应边 $A{B}^{\prime }$、$D{B}^{\prime }$ 及对应点连线 $B{B}^{\prime }$ 均以虚线表示，$AD$ 是折痕。

核心结论与推导

结论：翻折前后两部分关于折痕成轴对称，故

1. 对应边相等：$AB=A{B}^{\prime }$，$DB=D{B}^{\prime }$；
2. 对应角相等：$\angle BAD=\angle B^{\prime }AD$，$\angle B=\angle A{B}^{\prime }D$，$\angle ADB=\angle AD{B}^{\prime }$；
3. 折痕垂直平分对应点连线：$AD$ 垂直平分线段 $B{B}^{\prime }$。

证明：折叠是把图形沿折痕翻转 $180°$ 的刚体运动，不改变任何长度与角度，故翻折前后的 $△ABD$ 与 $△A{B}^{\prime }D$ 完全重合（全等），对应边、对应角相等。

又由轴对称的性质，对应点 $B$、$B^{\prime }$ 的连线被对称轴垂直平分，因此 $AD\perp B{B}^{\prime }$ 且 $AD$ 经过 $B{B}^{\prime }$ 的中点。$■$

典例精析

例：如图，将 $△ABD$ 沿 $AD$ 翻折得到 $△A{B}^{\prime }D$。已知 $\angle B=60°$，$\angle BAD=40°$，求 $\angle B^{\prime }DC$。

解：在 $△ABD$ 中由内角和，

$\angle ADB=180°-60°-40°=80°.$

由折叠前后对应角相等，$\angle AD{B}^{\prime }=\angle ADB=80°$。点 $B$、$D$、$C$ 共线，落点 $B^{\prime }$ 与 $A$ 在 $BC$ 同侧，点 $D$ 处三个角合成平角：

$\angle B^{\prime }DC=180°-\angle ADB-\angle AD{B}^{\prime }=180°-80°-80°=20°.$

常见变式

1. 矩形折叠勾股型：矩形一角沿直线折叠落到对边上，设未知段为 $x$，用对应边相等配合勾股定理解方程，是中考最高频的折叠题型。
2. 折叠落边型：落点恰在另一边上时，落点到两端距离可由对应边直接转移，常结合等腰三角形。
3. 折叠＋相似型：折叠后出现平行线，构成 A 字或 8 字相似，用比例求折痕或落点。

对比与联系