隐圆模型：看不见的辅助圆

求解策略

1. 识圆：抓「到定点距离定长」或「对定线段张定角（含直角）」的信号
2. 补圆：定长型以定点为圆心；张直角型以定弦为直径；一般定角型在弦的中垂线上定圆心
3. 锁定：确认动点在整圆还是一段弧上（注意张角相等有优弧、劣弧两解）
4. 求果：用圆周角转化角度，用「圆心距加减半径」求距离最值

模型结构

如图，$A$、$B$ 是两个定点（确定弦 $AB$），动点 $P$ 对弦 $AB$ 始终张开定角 $\angle APB$。题面并没有画圆，但满足这一条件的所有点 $P$ 恰好落在同一个圆上——这个没有被画出来、需要自己补出的圆 $O$ 就是隐圆，图中虚线 $OA$、$OB$、$OP$ 是它的半径，$OA=OB=OP$。

隐圆的另一种更朴素的信号是「定点定长」：动点 $P$ 到定点 $O$ 的距离恒等于 $r$，由圆的定义，$P$ 就在以 $O$ 为圆心、$r$ 为半径的圆上。

核心结论与推导

结论：常见隐圆有三类来源——

1. 定点定长：$OP=r$（圆的定义），$P$ 在圆 $O$ 上；
2. 定弦张直角：$\angle APB=90°$（圆周角定理逆用），$P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上；
3. 定弦张定角：$\angle APB=\alpha$ 为一般定角，$P$ 在过 $A$、$B$ 的两个对称圆中的一个上。

证明（第 2 类）：取 $AB$ 的中点 $O$，则 $OA=OB$。设 $\angle APB=90°$，连接 $OP$。在直角三角形 $APB$ 中，斜边中线等于斜边的一半，故

$OP=\frac{1}{2}AB=OA=OB.$

于是 $A$、$P$、$B$ 三点到 $O$ 的距离相等，$P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。第 3 类同理：同弧所对的圆周角相等，张角等于定角 $\alpha$ 的点恰在以 $AB$ 为弦、所含圆周角为 $\alpha$ 的弧上。$■$

典例精析

例：如图，定线段 $AB=4$，动点 $P$ 满足 $\angle APB=90°$，$M$ 为另一定点，且 $M$ 到 $AB$ 中点 $O$ 的距离为 $5$。求 $PM$ 的最大值。

解：由「定弦张直角」，$P$ 在以 $AB$ 为直径的隐圆上，圆心为 $O$，半径 $r=\frac{1}{2}AB=2$。于是

$P{M}_{\max }=MO+r=5+2=7,$

等号在 $M$、$O$、$P$ 共线且 $O$ 在 $M$、$P$ 之间时取得。

常见变式

1. 定点定长求路径：如折叠后落点到折痕某定点距离不变，落点走出圆弧，路径长用弧长公式 $l=\frac{n\pi r}{180}$ 计算。
2. 张直角＋斜边定长：直角顶点运动而斜边固定，顶点轨迹是圆（直径为定斜边）。
3. 对角互补型：四边形中 $\angle A+\angle C=180°$ 时四点共圆，也是隐圆的一种识别方式。

对比与联系