圆幂定理模型：相交弦、切割线与割线

求解策略

1. 定位：判断点在圆内、圆上还是圆外
2. 选公式：相交弦、切割线或割线
3. 列乘积：写出线段乘积等式
4. 求解：代入已知线段求未知线段

模型结构

如图，圆内一点 $P$，两条弦 $AB$、$CD$ 交于 $P$，形成相交弦模型。

核心结论与推导

结论（圆幂定理）：

• 相交弦：$P$ 在圆内，$PA\cdot PB=PC\cdot PD$
• 切割线：$P$ 在圆外，$PA$ 为切线，$PBC$ 为割线，则 $P{A}^2=PB\cdot PC$
• 割线：$P$ 在圆外，两割线 $PAB$、$PCD$，则 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$

推导（相交弦）：连接 $AC$、$BD$。$\angle APC=\angle DPB$（对顶角），$\angle CAP=\angle BDP$（同弧 $BC$ 上的圆周角），故 $△APC\backsim △DPB$，得

$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}\Rightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD.■$

典例精析

例：圆内两弦 $AB$、$CD$ 交于 $P$，$PA=3$，$PB=4$，$PC=2$。求 $PD$。

解：由相交弦定理，$PA\cdot PB=PC\cdot PD$，即 $3\times 4=2\times PD$，解得 $PD=6$。

常见变式

1. 切线长求线段：切线长平方等于割线乘积，用于求切线或割线段。
2. 逆定理判共圆：若 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$，可反推四点共圆。
3. 幂的坐标计算：点 $P(x_0,y_0)$ 对圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 的幂为 $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2-r^2$。

对比与联系