外心模型：中垂线交点与外接圆

求解策略

1. 定心：作两边的垂直平分线，交点即外心 $O$
2. 定位：按锐角、直角、钝角判断 $O$ 在三角形内、斜边中点还是外部
3. 用径：$OA=OB=OC=R$，直角三角形 $R=\frac12$ 斜边，一般三角形用 $R=\frac{a}{2\sin A}$
4. 倒角：同弦所对圆心角是圆周角的两倍，如 $\angle AOB=2\angle ACB$

模型结构

如图，$△ABC$ 的三个顶点都在同一个圆 $O$ 上，这个圆是 $△ABC$ 的外接圆，圆心 $O$ 称为三角形的外心。图中画出的线段 $OC$ 是外接圆的一条半径，外心到三个顶点距离相等：

$OA=OB=OC=R.$

核心结论与推导

结论：

1. 三线共点：三边的垂直平分线交于外心 $O$，$OA=OB=OC$；
2. 位置随形：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部；
3. 倍角关系：同弦所对的圆心角是圆周角的两倍，如

$\angle AOB=2\angle ACB.$

证明：设边 $AB$、$BC$ 的垂直平分线交于 $O$。由线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，

$OA=OB,OB=OC,$

故 $OA=OB=OC$，$O$ 也在边 $AC$ 的垂直平分线上，且 $A$、$B$、$C$ 都在以 $O$ 为圆心的圆上。

直角情形：当 $\angle ACB=90°$ 时，$90°$ 的圆周角所对的弦 $AB$ 是直径，故外心 $O$ 就是斜边 $AB$ 的中点，$R=\frac{1}{2}AB$。钝角三角形中钝角所对的弦所对圆心角取优弧上的角，外心随之移出三角形外。$■$

典例精析

例：一个直角三角形的三边长分别为 $6$、$8$、$10$，求其外接圆半径 $R$。

解：因 $6^2+8^2=10^2$，该三角形为直角三角形，最长边 $10$ 为斜边。直角三角形的外心在斜边中点，故

$R=\frac{1}{2}\times 10=5.$

补充：若等边三角形边长为 $a$，则外心在高线上距顶点 $\frac{2}{3}$ 高处，

$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$

常见变式

1. 外接圆倒角型：已知外心与两顶点连线，用 $\angle AOB=2\angle ACB$ 在圆心角与圆周角间转换。
2. 外心＋垂心型：结合直径所对圆周角为直角，证明与高、垂心有关的平行与垂直关系。
3. 正弦定理型：用 $R=\frac{a}{2\sin A}$ 知一边一角求外接圆半径，是解三角形的常用工具。

对比与联系