三垂直模型：一线三直角出全等
三垂直模型指同一直线上立起三个直角：两侧垂线加中间一个直角顶点，立刻推出两三角形相似；再加一组斜边相等即升级为全等，是坐标几何与全等证明的双料工具。
结构：图中 B、C、D 共线（直线 BD），AB⊥BD 于 B，ED⊥BD 于 D，且 ∠ACE=90°，AC=CE，A、E 都在直线 BD 的上方。
标准形：AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE=90°⇒△ABC∼△CDE；若 AC=CE 则 △ABC≅△CDE。
适用前提与边界条件
- 三个直角必须共用同一条基准直线（两点在直线上作垂线，第三点在其上张直角）
- 升级全等需要一组斜边相等（如 AC=CE），否则只有相似
求解策略
- 认直角：确认三个直角共用直线 BD，锁定模型
- 互推余角：由 ∠ACB+∠ECD=90° 与 ∠ACB+∠BAC=90° 得 ∠BAC=∠ECD
- 定关系：两角对应相等得相似；有 AC=CE 则 AAS 全等
- 取结论：AB=CD、BC=DE，或坐标化为横纵差互换
模型结构
直线 BD 上依次有 B、C、D 三点。A 在 B 正上方（AB⊥BD），E 在 D 正上方（ED⊥BD），且 ∠ACE=90°——三个直角立在同一条直线上，模型因此得名。图中 AC=CE，两个直角三角形一矮一高，恰好全等。
AB⊥BD、ED⊥BD、∠ACE=90°，AC=CE，△ABC≌△CDE
核心结论与推导
结论：△ABC∼△CDE；当 AC=CE 时全等，AB=CD、BC=DE。
证明：B、C、D 共线且 ∠ACE=90°，故
∠ACB+∠ECD=90°.
又 Rt△ABC 中 ∠ACB+∠BAC=90°，两式相减得 ∠BAC=∠ECD。结合 ∠ABC=∠CDE=90°，
△ABC∼△CDE (AA).
若再有 AC=CE，则斜边相等，AAS 得 △ABC≅△CDE，于是 AB=CD、BC=DE。■
注意对应是「交叉」的：A 的高对应 D 侧的横段，B 的横段对应 E 的高——这正是坐标法「横纵差互换」的几何原型。
典例精析
例：如图位形，AB=3，BC=7，AC=CE 且三直角齐备。求 DE 与 CD。
解：由 △ABC≅△CDE（模型结论），
DE=BC=7,CD=AB=3.
点评：不用算斜边、不用证角，模型结论直接搬运。真正要练的是识别：题目把直线 BD 伪装成坐标轴、墙根、河岸时，要能一眼看穿。
常见变式
- 坐标版：C 在原点、BD 为 x 轴，A=(−p,q) 时 E=(q,p)，全等化为坐标互换。
- 仅相似版：去掉 AC=CE，只剩相似比 CDAB=DEBC=CEAC，用于求高。
- 正方形背景：正方形一边卡在直线上时，两侧顶点向直线作垂线，自动生成三垂直全等。
对比与联系
| 模型 | 等角大小 | 结论强度 | 典型场景 |
|---|
| 一线三等角模型 | 任意等角 | 相似 | 一般导角 |
| 三垂直模型 | 90° | 相似，可升级全等 | 坐标几何、测量 |
| 十字架模型 | 正方形内垂直 | 全等 | 正方形内垂直线段 |
正例与反例
✅ 正例
- AB⊥BD、ED⊥BD、AC⊥CE 且 AC=CE，则 △ABC≅△CDE，AB=CD、BC=DE
❌ 反例
- 只凭两个直角（AB⊥BD、ED⊥BD）就证全等：缺中间直角 ∠ACE=90° 时两三角形仅各有一个直角，条件不足
高频误解与考试易错
- !对应边认错：全等时是 AB=CD、BC=DE（交叉对应），不是 AB=DE
- !直角顶点数错：中间直角必须在基准直线上（C 在 BD 上），顶点飘在线外就不是一线三垂直
- !坐标化时符号混乱：放到坐标系里用「横纵差互换加变号」描述斜边垂直，符号错则全等变错位
常见问题
和一线三等角模型什么关系？
三垂直就是一线三等角在等角都是
90° 时的特例。一线三等角给相似，三垂直因直角自带「余角互推」，证明链最短，所以单独成名。
为什么余角互推是核心？
C 处直角给出
∠ACB+∠ECD=90°，而
Rt△ABC 中
∠ACB+∠BAC=90°，两式相减得
∠BAC=∠ECD，角条件瞬间凑齐。
在坐标几何里怎么用？
已知点
C 与向量
(a,b) 表示的
CA，则垂直等长的
CE 就是
(−b,a) 或
(b,−a)，全等对应「横纵差互换加变号」，解析几何压轴题也常用。
依据与出处
- 人教版（2024 审定）八年级上册 第十四章《全等三角形》
- 人教版（2024 审定）九年级下册 第三十一章《相似》（2027 春起使用；相似三角形的判定）