将军饮马模型：轴对称求最短路径

求解策略

1. 作对称点：把 $A$ 关于 $l$ 对称到 $A^{\prime}$（对称 $B$ 效果相同）
2. 化折为直：$PA+PB=PA^{\prime}+PB \geq A^{\prime}B$，连线 $A^{\prime}B$ 与 $l$ 的交点即最优 $P$
3. 计算长度：放进直角三角形，用勾股定理或坐标求 $A^{\prime}B$
4. 升级识别：系数不为 $1$ 时转胡不归模型，动点在圆上时转阿氏圆模型

模型结构

直线 $l$ 同侧有两定点 $A$、$B$，$P$ 是 $l$ 上一动点。$A^{\prime }$ 是 $A$ 关于 $l$ 的对称点，连接 $A^{\prime }B$ 交 $l$ 于 $P$，这个交点就是使 $PA+PB$ 最小的位置。

核心结论与推导

结论：$(PA+PB{)}_{\min }=A^{\prime }B$，最优点是 $A^{\prime }B$ 与 $l$ 的交点。

证明：由轴对称的性质，$l$ 上任意点 $P$ 都满足 $PA=P{A}^{\prime }$，于是

$PA+PB=P{A}^{\prime }+PB\ge A^{\prime }B,$

最后一步是「两点之间线段最短」。等号成立当且仅当 $A^{\prime }$、$P$、$B$ 三点共线，即 $P$ 为 $A^{\prime }B$ 与 $l$ 的交点。$■$

对称点把「翻不过的折线」翻译成「看得见的直线」，这是轴对称作为几何变换最经典的应用。

典例精析

例：$A$、$B$ 两村在河（视为直线 $l$）的同侧，$A$ 到河岸距离为 $2$ km，$B$ 到河岸距离为 $3$ km，两村的水平距离为 $12$ km。在河边修一座水塔 $P$ 向两村供水，求 $PA+PB$ 的最小值。

解：作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{\prime }$，则 $A^{\prime }$ 到 $l$ 的距离也是 $2$ km。$A^{\prime }$ 与 $B$ 分居 $l$ 两侧，垂直方向距离之和为 $2+3=5$ km，水平距离 $12$ km，故

$PA+PB\ge A^{\prime }B=\sqrt{12^2+5^2}=13\text{ km}.$

等号在 $P$ 为 $A^{\prime }B$ 与 $l$ 的交点时取得，最小值为 $13$ km。

常见变式

1. 直角内一点型：$P$ 在角的一边上滑动，求到角内两定点距离和最小，对称轴换成角的一边即可。
2. 双动点反射型：光线从 $A$ 经两条镜面反射到 $B$，连续作两次对称，把三段折线拉直。
3. 造桥选址型：在河上架一座垂直于河岸的桥 $MN$（长度固定），求 $AM+MN+NB$ 最小——先把 $A$ 沿垂直方向平移一个桥长，再按本模型连线。

对比与联系

模型	动点位置	目标式	核心手法
将军饮马	定直线	$PA+PB$	轴对称，化折为直
胡不归	定直线	$PA+k\cdot PB$	构造角 $\arcsin k$，化系数为垂线段
阿氏圆	定圆	$PA+k\cdot PB$	反演点，化系数为定比
费马点	平面内自由	$PA+PB+PC$	旋转 $60°$，三线共点