飞镖模型：凹四边形的角度关系

求解策略

1. 认结构：确认是凹四边形（飞镖），锁定凹点 $P$
2. 添辅助线：延长 $AP$ 交 $BC$ 于 $M$
3. 用外角：$\angle BPM=\angle BAP+\angle ABP$，$\angle CPM=\angle CAP+\angle ACP$
4. 合并：两式相加即得 $\angle BPC=\angle BAC+\angle ABP+\angle ACP$

模型结构

$A$ 在上方，$B$、$C$ 分居左下、右下，点 $P$ 落在 $△ABC$ 内部。连接 $PB$、$PC$ 后，四边形 $ABPC$ 在 $P$ 处向内凹陷，形如飞镖；延长 $AP$ 交 $BC$ 于 $M$，这条辅助线把凹角 $\angle BPC$ 切成两块。

核心结论与推导

结论：$\angle BPC=\angle BAC+\angle ABP+\angle ACP$。

证明：延长 $AP$ 交 $BC$ 于 $M$。在 $△ABP$ 中，$\angle BPM$ 是外角，故

$\angle BPM=\angle BAP+\angle ABP;$

在 $△ACP$ 中，同理

$\angle CPM=\angle CAP+\angle ACP.$

两式相加，注意 $\angle BAP+\angle CAP=\angle BAC$，得

$\angle BPC=\angle BPM+\angle CPM=\angle BAC+\angle ABP+\angle ACP.$

$■$

一句话记忆：飞镖的凹角，等于远处三个尖角之和。

典例精析

例：$\angle BAC=60°$，$BP$、$CP$ 分别平分 $\angle ABC$、$\angle ACB$ 的一部分：已知 $\angle ABP=\frac{1}{3}\angle ABC$，$\angle ACP=\frac{1}{3}\angle ACB$，求 $\angle BPC$。

解：由飞镖模型，

$\angle BPC=\angle BAC+\frac{1}{3}(\angle ABC+\angle ACB)=60°+\frac{1}{3}(180°-60°)=60°+40°=100°.$

点评：题目没给每个角的具体值，只给了「份额」，先把 $\angle ABC+\angle ACB$ 打包用内角和求出，再整体代入——飞镖模型天然适合这种「打包代入」。

常见变式

1. 双凹点：两个飞镖嵌套（$P$ 内还有 $Q$），逐层套用结论。
2. 角平分线版：$BP$、$CP$ 是角平分线时 $\angle BPC=90°+\frac{1}{2}\angle A$，是本模型的招牌推论。
3. 折线版：凹点换成多段折线（锯齿），结论推广为凹角等于各尖角代数和，注意符号方向。

对比与联系