阿基米德折弦定理模型：折弦中点与垂足

阿基米德折弦定理给出：折弦所对弧（含折点的弧）的中点，向折弦中较长的一段弦作垂线，垂足把折弦总长平分（长段远端部分等于短弦加长段近端部分）；是圆中折线段和差的经典结论。

结构：圆上顺次四点 AA、BB、MM、CC，MM 为弧 ABCABC（含 BB 的弧 ACAC）中点；MD⊥MD\perp 较长弦 BCBC 于 DD，MCMC 为虚线。

标准形：MM 为含折点 BB 的弧 ACAC（弧 ABCABC）中点，MD⊥MD\perp 较长弦 BCBC 于 DD，则 CD=AB+BD=AB+BC2CD=AB+BD=\frac{AB+BC}{2}，垂足把折弦总长平分。

适用前提与边界条件

  1. MM 必须是含折点 BB 的弧 ACAC（弧 ABCABC）的中点，即沿该弧 AM⌢=MC⌢\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MC}，不是另一段弧的中点
  2. 垂足 DD 在较长弦（图中 BCBC）上，结论 CD=AB+BD=AB+BC2CD=AB+BD=\frac{AB+BC}{2}：垂足把折弦总长平分

求解策略

  1. 认准弧：MM 是含折点 BB 的弧 ACAC（弧 ABCABC）的中点，不是另一段弧的中点
  2. 落垂足：MD⊥MD\perp 较长弦（图中 BCBC）于 DD
  3. 写和差：CD=AB+BD=AB+BC2CD=AB+BD=\frac{AB+BC}{2}，等价于 BD=BC−AB2BD=\frac{BC-AB}{2}
  4. 求线段：用折弦两段的和差关系求未知线段

模型结构

如图，圆上顺次四点 、、、，、 组成一条折弦， 是含折点 的弧 （弧 ）的中点； 较长的一段弦 于 ， 为虚线辅助线。

ABCMD
M 为含折点 B 的弧 AC（弧 ABC）中点，MD 垂直较长弦 BC 于 D，则 CD = AB + BD

核心结论与推导

结论（阿基米德折弦定理）： 为弧 的中点， 于 ，则

即垂足 把折弦总长 平分。

推导：连接 、。由 为弧 中点，得 ，故 （等弧对等弦）。

在 上截取 ，连接 。由 （同对弧 的圆周角， 在弦 上），且 、，得 （SAS），故 ，即 为等腰三角形。又 ，故 为 的中点，。于是

结合 ，即得 。

典例精析

例：如图， 为弧 的中点， 较长弦 于 ，折弦两段 、。求 与 。

解：由折弦定理，

故 （也即 ）。

常见变式

  1. 和差转化型：垂足落在较长段上，结论可改写为 ，用于求较短的一段。
  2. 折弦求长：已知折弦总长和一段，用垂足的平分关系求另一段。
  3. 逆定理：若 且 ，可反推 为弧 的中点。

对比与联系

模型条件结论
折弦定理含折点的弧中点 + 垂直较长弦，垂足平分折弦总长
垂径定理直径垂直弦直径平分弦
圆周角定理同弧圆周角相等

正例与反例

✅ 正例

  • MM 为弧 ABCABC 的中点，MD⊥MD\perp 较长弦 BCBC 于 DD，则 CD=AB+BD=AB+BC2CD=AB+BD=\frac{AB+BC}{2}

❌ 反例

  • MM 不是弧中点时，垂足不平分折弦

高频误解与考试易错

  • 弧中点认错：MM 是含折点 BB 的弧 ACAC（弧 ABCABC）的中点，不是不含 BB 的那段弧的中点
  • 折弦认错：折弦是 A→B→CA\to B\to C，两段是弦 ABAB、BCBC；垂足落在较长段上，等号从长段远端量起
  • 垂足位置混淆：DD 是 MM 到较长弦（图中 BCBC）的垂足，不是 BCBC 的中点

常见问题

折弦定理的核心是什么？
弧中点向折弦中较长的一段弦作垂线，垂足把折弦总长平分：如图 CD=AB+BD=12(AB+BC)CD=AB+BD=\frac12(AB+BC)，实现弧相等向线段和差的转化。
折弦定理怎么证明？
连接 MAMA、MCMC，由 MM 为弧 ABCABC 中点得 MA=MCMA=MC；在较长弦 BCBC 上截取 CE=ABCE=AB，由 ∠MAB=∠MCE\angle MAB=\angle MCE（同对弧 MBMB 的圆周角）用 SAS 证 △MAB≅△MCE\triangle MAB\cong\triangle MCE，得 MB=MEMB=ME；等腰 △MBE\triangle MBE 中 MD⊥BEMD\perp BE，故 DD 为 BEBE 中点，BD=DEBD=DE，于是 CD=CE+ED=AB+BDCD=CE+ED=AB+BD。
折弦定理有什么用？
证线段和差、求折弦中一段的长、构造全等三角形。

依据与出处

  • 人教版（2024 审定）九年级上册 第二十九章《圆》（2026 秋起使用；圆周角综合应用，折弦定理为教材拓展模型）

学习前置

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