对角互补模型：互补即共圆

求解策略

1. 验条件：找一组对角互补（或外角等于内对角）
2. 判共圆：用四点共圆判定把四边形放进圆里
3. 导角：同弧圆周角互化，把难算的角搬到好算的位置
4. 组合：遇 $AB=AD$ 类邻边相等条件，接旋转或截长补短拿平分线结论

模型结构

四边形 $ABCD$ 的四个顶点落在同一个圆上，对角线 $AC$ 把四边形分成两个三角形。圆内接四边形的身份证就是：两组对角各自互补。

核心结论与推导

结论：$\angle A+\angle C=180°\iff$ 四点共圆；共圆后 $\angle BAC=\angle BDC$、$\angle DAC=\angle DBC$ 等同弧角全部相等。

证明（性质方向）：$A$、$B$、$C$、$D$ 共圆时，$\angle A$ 对弧 $BCD$、$\angle C$ 对弧 $BAD$，两弧合成整个圆周 $360°$，圆周角为弧度数的一半，故

$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\times 360°=180°.$

判定方向反之：若 $\angle A+\angle C=180°$，过 $A$、$B$、$D$ 作圆，若 $C$ 不在圆上，则 $BC$（或延长线）与圆另交于 $C^{\prime }$，由已证性质 $\angle A+\angle B{C}^{\prime }D=180°$，与条件比较得矛盾，故 $C$ 在圆上。$■$

典例精析

例：四边形 $ABCD$ 中 $\angle ABC+\angle ADC=180°$，$AB=AD$。求证：$CA$ 平分 $\angle BCD$。

证：将 $△ABC$ 绕 $A$ 旋转，使 $AB$ 落到 $AD$（$AB=AD$ 保证重合），$C$ 落到 $C^{\prime }$。则 $\angle AD{C}^{\prime }=\angle ABC$，而 $\angle ABC+\angle ADC=180°$，故 $\angle AD{C}^{\prime }+\angle ADC=180°$，$C$、$D$、$C^{\prime }$ 共线。又 $AC=A{C}^{\prime }$（旋转保距），$△AC{C}^{\prime }$ 等腰，$\angle ACD=\angle A{C}^{\prime }C=\angle ACB$，即 $CA$ 平分 $\angle BCD$。$■$

点评：旋转加互补出共线，是对角互补模型的招牌手法；共圆视角下该结论即「等弦对等角」。

常见变式

1. 外角形式：外角等于内对角同样判定共圆，图形中常藏在外角平分线题里。
2. 直角共圆：$\angle B=\angle D=90°$ 时 $AC$ 为直径（直角所对的弦是直径），转化为直径对直角使用。
3. 和差结论：$AB=AD$ 且 $\angle B+\angle D=180°$ 时，$BC+CD$ 与 $AC$ 有固定倍数关系（随顶角 $\angle BAD$ 变化），用旋转一次性求出。

对比与联系