等积变形模型：顶点滑动面积不变

求解策略

1. 找底：确认两个三角形共用同一条底边 $BC$
2. 验高：确认两顶点在与底边平行的同一条直线上，即等高
3. 判等：由底相同、高相等得面积相等
4. 转化：把要求的三角形面积换成同底等高、位置更有利的三角形

模型结构

如图，三角形 $A_{1}BC$ 的底边 $BC$ 固定不动，顶点 $A_1$ 沿与 $BC$ 平行的直线滑动到 $A_2$；虚线画出了滑动轨迹 $A_1{A}_2$ 与新位置三角形 $A_{2}BC$ 的两条边。

核心结论与推导

结论：同底等高的两个三角形面积相等：

$S_{△A_{1}BC}=S_{△A_{2}BC}.$

推导：三角形的面积只由底和高决定。$A_1$、$A_2$ 在与 $BC$ 平行的同一条直线上，由「平行线间距离处处相等」，两个三角形以 $BC$ 为底时高相等，底又相同，所以

$S=\frac{1}{2}\times BC\times h$

中的底与高都没有变，面积自然相等。$■$

注意：面积不变，但 $A_{1}B$、$A_{1}C$ 滑到 $A_{2}B$、$A_{2}C$ 后长度一般改变，所以周长并不守恒。

典例精析

例：如图，$A_1{A}_2\parallel BC$，三角形 $A_{1}BC$ 的面积是 $24{\text{ cm}}^2$。求三角形 $A_{2}BC$ 的面积。

解：两个三角形同底 $BC$，顶点 $A_1$、$A_2$ 在底边的平行线上，属于等积变形，故

$S_{△A_{2}BC}=S_{△A_{1}BC}=24{\text{ cm}}^2.$

常见变式

1. 夹在平行线间型：两个三角形的底落在同一条直线上，相对顶点落在另一条平行线上，面积直接相等。
2. 平行四边形顶点滑动型：平行四边形一边固定、对边沿其所在直线滑动，面积不变。
3. 面积差转化型：求两个有公共部分的图形面积差时，用等积变形把其中一块换成同积但不重叠的位置，差量立刻显现。

对比与联系