弦切角模型：切线与弦的夹角等于圆周角

求解策略

1. 认切线：确认直线与圆只有一个公共点（切点）
2. 找弦：确定过切点的弦
3. 对弧：找到弦切角所夹的弧
4. 转化：弦切角 $=$ 该弧上的圆周角

模型结构

如图，圆 $O$ 中，$PA$ 为切线（$A$ 为切点），$AB$、$AC$ 为弦，$OA$ 为半径（$OA\perp PA$）。弦切角 $\angle PAB$ 等于弦 $AB$ 所对的圆周角 $\angle ACB$。

核心结论与推导

结论：弦切角等于所夹弧上的圆周角：

$\angle PAB=\angle ACB.$

推导：连接 $OA$，则 $OA\perp PA$（切线垂直于过切点的半径）。延长 $AO$ 交圆于 $D$，连接 $BD$，则 $\angle ABD=90°$（直径所对圆周角）。

$\angle PAB=90°-\angle OAB=90°-\angle DAB=\angle ADB.$

又 $\angle ADB=\angle ACB$（同弧 $AB$ 上的圆周角相等），故

$\angle PAB=\angle ACB.■$

典例精析

例：如图，$PA$ 切圆 $O$ 于 $A$，$AB$ 为弦，$\angle PAB=50°$。求 $\angle ACB$。

解：由弦切角定理，$\angle ACB=\angle PAB=50°$。

常见变式

1. 双切线弦切角：两条切线与公共弦构成两个弦切角，分别等于对应圆周角。
2. 弦切角证切线：逆用定理，若一角等于圆周角且一边过切点，可证该边为切线。
3. 弦切角与相似：弦切角等于圆周角，结合公共角证三角形相似。

对比与联系