外方内圆模型：正方形内切圆面积比

求解策略

1. 认切：确认圆与四边都相切，$M$ 为切点
2. 换径：由边长 $a$ 得 $r=\frac{a}{2}$（或由 $r$ 得 $a=2r$）
3. 算面：分别用 $a^2$、$\pi r^2$ 算正方形与圆面积
4. 求差：四角面积和作差，单块再除以 4

模型结构

如图，正方形 $ABCD$ 内有与四条边都相切的内切圆，圆心为正方形中心 $O$；圆与上边 $AB$ 相切于中点 $M$，虚线 $OM$ 是半径，垂直于 $AB$。

核心结论与推导

设正方形边长为 $a$。

结论：

$r=\frac{a}{2},S_{圆}:S_{正}=\pi :4.$

推导：圆同时碰到左边 $AD$ 和右边 $BC$，过圆心 $O$ 的水平直径被夹在这组对边之间，长度恰为 $a$，故 $2r=a$，即 $r=\frac{a}{2}$。于是

$S_{圆}=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}{a}^2,S_{正}=a^2,$

两式作比得 $S_{圆}:S_{正}=\pi :4$，圆约占正方形的 $78.5\%$。$■$

四个角块全等，面积和为

$S_{四角}=a^2-\frac{\pi }{4}{a}^2=(1-\frac{\pi }{4})a^2.$

典例精析

例：如图，正方形边长为 $4\text{ cm}$，内有最大内切圆。求圆的面积与一个角块的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。

解：半径 $r=4÷2=2\text{ cm}$。

$S_{圆}=3.14\times 2^2=12.56{\text{ cm}}^2.$

四角面积和为 $4^2-12.56=3.44{\text{ cm}}^2$，一个角块为

$S_{角块}=3.44÷4=0.86{\text{ cm}}^2.$

常见变式

1. 挖圆求阴：正方形内去掉内切圆，阴影为四角，直接用 $(1-\frac{\pi }{4})a^2$。
2. 半切模型：正方形中半圆以一边为直径向内部切，半径为边长一半，求半圆与边角面积。
3. 连环相切：内切圆内再作内接小正方形，形成方—圆—方套叠：方到圆面积乘 $\frac{\pi }{4}$，圆到内接方面积乘 $\frac{2}{\pi }$，外方整体缩为内接小正方形的一半。

对比与联系