鸟头模型（共角模型）：共角三角形面积比等于夹边乘积比

求解策略

1. 找共角：辨认公共角（或等角、补角），如顶角 $A$
2. 列夹边：列出小、大三角形夹该角的两组边 $AD,AE$ 与 $AB,AC$
3. 写乘积：$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=AD\cdot AE:AB\cdot AC$
4. 看平行：若 $DE\parallel BC$，可直接用相似比平方互化

模型结构

如图，三角形 $ABC$ 中，$D$ 在边 $AB$ 上、$E$ 在边 $AC$ 上，连接 $DE$。小三角形 $ADE$ 与大三角形 $ABC$ 共用顶角 $A$；本图中 $DE\parallel BC$，是鸟头模型的平行特例。

核心结论与推导

结论（共角定理）：

$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=\frac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}.$

当 $DE\parallel BC$ 时，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，上式退化为

$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}={\left(\frac{AD}{AB}\right)}^2.$

推导：连接辅助线 $BE$。三角形 $ADE$ 与 $ABE$ 同以 $E$ 到直线 $AB$ 的距离为高：

$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABE}}=\frac{AD}{AB}.$

三角形 $ABE$ 与 $ABC$ 同以 $B$ 到直线 $AC$ 的距离为高：

$\frac{S_{△ABE}}{S_{△ABC}}=\frac{AE}{AC}.$

两式相乘，中间三角形 $ABE$ 的面积约去：

$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=\frac{AD}{AB}\cdot \frac{AE}{AC}=\frac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}.■$

典例精析

例：如图，$D$、$E$ 分别在 $AB$、$AC$ 上，$AD=4$，$DB=2$，$AE=3$，$EC=3$。求 $S_{△ADE}:S_{△ABC}$。

解：$AB=4+2=6$，$AC=3+3=6$。由鸟头模型，

$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=\frac{4\times 3}{6\times 6}=\frac{1}{3}.$

这里 $AD:AB=4:6=2:3$，$AE:AC=3:6=1:2$，两组比不相等，故 $DE$ 不平行 $BC$，两三角形不相似，必须用夹边乘积比，不能用相似比平方。

常见变式

1. 补角鸟头：两个三角形有一个角互补时，结论同样成立（夹补角两边乘积比），常见于折叠、旋转出的图形。
2. 平行鸟头：$DE\parallel BC$，直接按相似处理，面积比为相似比平方。
3. 嵌套鸟头：图形中多组共角三角形连用，连续乘比例求面积。

对比与联系