旋转相似模型：共点三角形的拉手线

求解策略

1. 认共点：找公共顶点 $O$，确认两组顶角相等（差一个公共角即得）
2. 配对应：按同一旋转方向把两边配对，写出 $OA:OC=OB:OD$
3. 证相似一：由两边成比例且夹角相等证 $\triangle OAB\backsim\triangle OCD$
4. 证相似二：比例式换位、夹角加公共角，证 $\triangle OAC\backsim\triangle OBD$，得拉手线定比、夹角等于共点顶角

模型结构

如图，$△OAB$ 与 $△OCD$ 共顶点 $O$，可看作小三角形 $OAB$ 绕 $O$ 旋转一个角度、再按定比放大得到大三角形 $OCD$。两三角形在共点处的顶角相等：

$\angle AOB=\angle COD,$

夹边成比例：

$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}.$

虚线 $AC$、$BD$ 是对应顶点之间的连线，称为拉手线。

核心结论与推导

结论：

1. $△OAB\backsim △OCD$（本体相似）；
2. $△OAC\backsim △OBD$（拉手线相似）；
3. 拉手线之比等于相似比：$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{OD}$，且两拉手线所在直线的夹角等于共点顶角 $\angle AOB$。

证明：由 $\angle AOB=\angle COD$、$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$，依两边成比例且夹角相等，得

$△OAB\backsim △OCD.$

把比例式交叉换位得 $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$；两个等顶角同时加上（射线交错排布时则同时减去）公共角 $\angle BOC$，都有

$\angle AOC=\angle BOD.$

再由两边成比例且夹角相等，

$△OAC\backsim △OBD.$

于是 $AC:BD=OC:OD$（定比）。设拉手线 $AC$、$BD$ 所在直线交于 $Q$，由对应角 $\angle OAC=\angle OBD$（即 $\angle OAQ=\angle OBQ$）知 $O$、$A$、$B$、$Q$ 四点共圆，故

$\angle AQB=\angle AOB,$

即两拉手线的夹角恒等于共点顶角。$■$

典例精析

例：如图，共点 $O$ 的两个等腰直角三角形满足 $\angle AOB=\angle COD=90°$，且 $OC=2OA$、$OD=2OB$，拉手线 $AC=5$，求 $BD$ 的长及 $AC$ 与 $BD$ 的夹角。

解：由 $\angle AOB=\angle COD=90°$、$OA:OC=OB:OD=1:2$，得 $△OAC\backsim △OBD$。又两个三角形都等腰，$OA=OB$、$OC=OD$，故相似比

$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{OD}=1,$

所以 $BD=AC=5$；两拉手线夹角等于共点顶角 $\angle AOB=90°$，即 $AC\perp BD$。

常见变式

1. 双等边三角形型：共点的两个等边三角形（顶角均为 $60°$），拉手线等长且夹角为 $60°$（$k=1$ 即手拉手）。
2. 双等腰直角型：顶角均为 $90°$，拉手线等长且互相垂直。
3. 正方形旋转型：共顶点的两个正方形，取相邻顶点连线即成本模型，拉手线夹角为 $90°$。

对比与联系

模型	关系	相似比	拉手线
旋转相似	共点旋转＋缩放	$k\ne 1$ 一般	成定比、夹角为共点顶角
手拉手	共点纯旋转	$k=1$	相等、夹角为共点顶角
瓜豆	一动一静的动态过程	轨迹长度成 $k$ 倍	轨迹形状相同
婆罗摩笈多	共点双直角＋中线	全等为主	中线与对边垂直、倍半