圆周角定理模型：同弧圆周角相等

求解策略

1. 找弧：确定圆周角所对的弧
2. 验同弧：确认两个角对同一条弧
3. 用定理：同弧圆周角相等，同弧所对圆心角是圆周角的两倍
4. 转化角：把目标角转移到同弧位置

模型结构

如图，$A$、$B$、$C$、$D$ 在圆上，$\angle BAC$ 与 $\angle BDC$ 同对弧 $BC$。

核心结论与推导

结论（圆周角定理）：同弧上的圆周角相等，且等于同弧所对圆心角的一半：

$\angle BAC=\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BOC.$

推导（圆心在圆周角内的情形）：延长 $AO$ 交圆于 $E$，连接 $BO$、$CO$。$OA=OB$（半径），$△OAB$ 为等腰三角形，$\angle OAB=\angle OBA$。由外角定理，$\angle BOE=\angle OAB+\angle OBA=2\angle OAB$。同理 $\angle COE=2\angle OAC$。故

$\angle BOC=\angle BOE+\angle COE=2(\angle OAB+\angle OAC)=2\angle BAC.■$

典例精析

例：圆上 $A$、$B$、$C$，圆心角 $\angle BOC=80°$。求圆周角 $\angle BAC$。

解：由圆周角定理，$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=40°$。

常见变式

1. 直径所对角：直径所对圆周角为 $90°$，逆用可证直角或直径。
2. 等弧对等角：等弧上的圆周角相等。
3. 四点共圆判定：同侧等角可判定四点共圆。

对比与联系