手拉手模型：共顶点旋转出全等

求解策略

1. 找共顶点：确认两个等边（或等腰）三角形的公共顶点 $B$
2. 辨拉手线：按同一旋转方向连接对应顶点，得到 $AE$ 与 $DC$
3. 证全等：SAS，夹角由「旋转角 + 公共角」拼出相等
4. 用结论：拉手线等长、夹角等于旋转角，常配合求角度或证垂直

模型结构

等边 $△ABD$ 与等边 $△CBE$ 共用顶点 $B$（图中 $A$、$B$、$C$ 恰好共线）。从 $B$ 看出去，$A$ 的对应点是 $D$，$E$ 的对应点是 $C$，连接两对「拉手线」$AE$ 与 $DC$，全等关系立刻浮现。

核心结论与推导

结论：$△ABE\cong △DBC$，从而 $AE=DC$，且直线 $AE$ 与 $DC$ 的夹角等于旋转角 $60°$。

证明：$BA=BD$，$BE=BC$（等边三角形的边）。又

$\angle ABE=\angle ABD+\angle DBE=60°+\angle DBE=\angle EBC+\angle DBE=\angle DBC,$

故 $△ABE\cong △DBC$（SAS），$AE=DC$。$■$

夹角结论：全等意味着把 $△ABE$ 绕 $B$ 旋转 $60°$ 得到 $△DBC$，对应直线 $AE$ 与 $DC$ 的夹角即旋转角 $60°$。

典例精析

例：如图配置，$△ABD$、$△CBE$ 均为等边三角形，$AE$ 与 $DC$ 交于点 $O$。求证：点 $B$ 到直线 $AE$、$DC$ 的距离相等（这也等价于 $OB$ 平分 $\angle AOC$）。

证：由 $△ABE\cong △DBC$ 知 $AE=DC$，且两三角形面积相等。以 $AE$、$DC$ 为底，设 $B$ 到两直线的距离分别为 $h_1$、$h_2$，则 $\frac{1}{2}\cdot AE\cdot h_1=S_{△ABE}=S_{△DBC}=\frac{1}{2}\cdot DC\cdot h_2$，由 $AE=DC$ 得 $h_1=h_2$。$■$

「全等 → 面积等 → 底等 → 高等」是手拉手模型最常用的推论链。

常见变式

1. 等腰直角版：两个等腰直角三角形共直角顶点，拉手线垂直且相等（旋转角 $90°$）。
2. 正方形版：两个正方形共顶点，拉手线相等且夹角 $90°$。
3. 旋转相似版：把「等边」放宽为「相似」，拉手线之比等于相似比，升级为旋转相似模型。

对比与联系