最大张角模型：米勒定理与切线定位

求解策略

1. 作圆：过 $A$、$B$ 作与 $l$ 相切的圆，圆心在 $AB$ 的垂直平分线上
2. 定点：切点即张角最大点 $P$；用 $EP^2=EA\cdot EB$（$E=AB$ 与 $l$ 的交点）计算位置
3. 验证：确认切点在可行线段内，否则改取端点
4. 作答：最大张角等于该弦切角（或所夹弧上的圆周角）

模型结构

如图，$A$、$B$ 是定直线同侧的两个定点，动点 $P$ 在这条水平直线上运动，$M$ 是直线上不同于 $P$ 的任意一点。过 $A$、$B$ 作一个圆 $O$，使它与定直线相切，切点恰为 $P$；虚线 $OA$、$OP$ 都是圆的半径，故 $OP\perp l$ 且 $OA=OP$。

核心结论与推导

结论（米勒定理）：过 $A$、$B$ 且与定直线相切的圆，其切点 $P$ 是直线上使 $\angle APB$ 最大的点，即对直线上任一其他点 $M$，都有

$\angle APB>\angle AMB.$

证明：设直线 $MB$ 与圆相交于另一点 $N$（$M$ 在圆外，直线与圆先交于 $N$ 再到 $B$）。连接 $AN$。

由同弧所对的圆周角相等，

$\angle ANB=\angle APB.$

而在 $△AMN$ 中，$\angle ANB$ 是外角，故

$\angle ANB=\angle AMN+\angle MAN>\angle AMN=\angle AMB.$

因此 $\angle APB=\angle ANB>\angle AMB$。切点处圆与直线只有一个公共点，其余点都在圆外（张圆外角，角被「压扁」），故 $P$ 处张角最大。$■$

切点定位：若直线 $AB$ 与定直线交于 $E$，由切割线定理（圆幂定理，将在九年级下册结合相似正式学习），

$E{P}^2=EA\cdot EB,$

沿直线量出该长度即可确定切点。

典例精析

例：足球比赛中，球门立柱 $A$、$B$ 相距 $6$ m，球员沿与球门线平行、距球门线 $8$ m 的直线带球。求球员在何处起脚射门，视角 $\angle APB$ 最大。

解：$AB$ 与带球直线平行，故切点在 $AB$ 的垂直平分线与带球直线的交点处——即球员跑到球门正中位置的正前方（距球门线 $8$ m）时起脚，视角最大。连接 $P$ 与 $AB$ 的中点，等腰三角形 $APB$ 被分成两个全等的直角三角形，故

$\tan \frac{\angle APB}{2}=\frac{3}{8}.$

用正切反求角度是九年级下册《锐角三角函数》的内容，届时可算出最大视角约为 $41°$；在本章只需据此定位最佳起脚点。

常见变式

1. 赏画问题：画的上下边缘为 $A$、$B$，人在地面直线上走动，求观赏视角最大的站位，模型完全相同。
2. 不平行定位：$AB$ 与动点所在直线相交于 $E$ 时，用 $E{P}^2=EA\cdot EB$ 算出切点，注意两侧两解、按可行域取舍。
3. 动点在圆上：把直线换成定圆，思路改为过 $A$、$B$ 作与定圆相切的圆，切点即最大张角点。

对比与联系