一道题二十一种解法：x²+3xy+4y²=7 求 x+2y 的最大值

设 $t=x+2y$（$t>0$），则 $x=t-2y$。代入条件：

整理成关于 $y$ 的一元二次方程：

正数 $y$ 必须存在，所以判别式非负：

解得 $t^2\leq 8$，即 $t\leq 2\sqrt2$。当 $t=2\sqrt2$ 时 $y=\dfrac{\sqrt2}{2}>0$，正数解确实存在，最大值取到。

同法十一构造 $\triangle ABC$。延长 $BA$ 到 $D$，使 $AD=AC=2y$，则 $BD=x+2y$。$\triangle ACD$ 为等腰三角形，由外角性质

角 $D$ 为定角、对边 $BC=\sqrt7$ 为定弦，故 $D$ 在一个定圆上运动。圆内过 $B$ 的弦以直径为最长，设直径端点为 $D_0$，则

由半角公式（高中将学；初中生也可在等腰三角形中用勾股定理算得同值）$\sin\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{1-\cos A}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\frac34}{2}}=\sqrt{\dfrac78}$，得

等号当 $\triangle BCD_0$ 为直角三角形（$BD_0$ 为直径），即 $x=2y$。

由 $\left(x+\dfrac{3y}{2}\right)^2+\dfrac{7y^2}{4}=7$，两边除以 $7$：

构造 8 个数据：7 个 $\dfrac{x+\frac{3y}{2}}{7}$ 和 1 个 $\dfrac y2$。它们的平均数为

方差为

故 $(x+2y)^2\leq 8$，$x+2y\leq 2\sqrt2$。等号当 8 个数据全相等：

先把目标式平方，让它和条件「长得像」：

只需给 $xy$ 找一个上界。由基本不等式 $x^2+(2y)^2\geq 4xy$（即 $(x-2y)^2\geq 0$）：

故 $xy\leq 1$，于是 $(x+2y)^2\leq 8$。因 $x+2y>0$，得

当且仅当 $x=2y$ 时等号成立。

令 $t=x+2y$。由 $(x-2y)^2\geq 0$ 展开得 $(x+2y)^2\geq 8xy$，即

而 $t^2=(x+2y)^2=7+xy$，所以

当且仅当 $x=2y$ 时等号成立。

目标与条件都是二次式，令 $t=x+2y$，把 $t^2$ 与常数 $7$ 作比（齐次化）：

由 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{4y}{x}\geq 2\sqrt4=4$，分母至少为 $7$，故

所以 $t\leq 2\sqrt2$，当且仅当 $\dfrac{x}{y}=\dfrac{4y}{x}$，即 $x=2y$ 时取等。

先把条件配成两个平方之和：

用柯西不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$，取 $(c,d)=\left(1,\dfrac1{\sqrt7}\right)$：

即 $(x+2y)^2\leq 8$，$x+2y\leq 2\sqrt2$。等号当两组成比例：

配方后把 $7$ 写成分次幂相除的形式：

用权方和不等式（柯西的 Engel 形态）$\dfrac{a^2}{p}+\dfrac{b^2}{q}\geq\dfrac{(a+b)^2}{p+q}$：

故 $(x+2y)^2\leq 8$，$x+2y\leq 2\sqrt2$。等号当 $\dfrac{x+\frac{3y}{2}}{1}=\dfrac{\frac y2}{\frac17}$，即 $x+ \frac{3y}{2}=\frac{7y}{2}$，$x=2y$。

记 $u=x+\dfrac{3y}{2}$，则 $u^2+\dfrac{7y^2}{4}=7$。引入正数 $m,n$，由 $a^2+b^2\geq 2ab$：

两式相加：

希望右端恰为 $2m(x+2y)$，令 $3m+\sqrt7 n=4m$，得 $m=\sqrt7 n$。再让两个等号同时成立可得最紧的配比，解得

代回：

故 $x+2y\leq 2\sqrt2$，等号当 $u=m$、$\dfrac{\sqrt7 y}{2}=n$ 同时成立，即 $x=2y$。

把条件看成关于 $x$ 的二次方程：

因 $x>0$ 只取正根。目标成为关于 $y$ 的一元函数：

求导：

令 $g'(y)=0$：$28-7y^2=49y^2$，得 $y=\dfrac{\sqrt2}{2}$，此时 $x=\sqrt2$。$y$ 增大时分母为正、分子由正变负，故该点为最大值点：

配方得 $u^2+v^2=7$，其中 $u=x+\dfrac{3y}{2}$，$v=\dfrac{\sqrt7 y}{2}$。令

注意 $y=\dfrac{2v}{\sqrt7}$，于是

辅助角合一：

其中 $\tan\varphi=\sqrt7$。振幅就是最大值，对应的 $\theta$ 给出 $x=\sqrt2,\ y=\dfrac{\sqrt2}{2}$。

这次照着目标式设元：令 $r=x+2y$，取

代入条件（注意 $y=\dfrac{r}{2}\sin^2\theta$）：

利用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 合并：

故 $r^2\leq 8$，$r\leq 2\sqrt2$。等号当 $\sin 2\theta=1$，即 $\theta=\dfrac\pi4$，此时 $\cos^2\theta=\sin^2\theta$，$x=2y$。

把条件改写成余弦定理的形状：

构造 $\triangle ABC$，使 $AB=x$，$AC=2y$，$BC=\sqrt7$，则

由正弦定理 $AB=4\sin C$，$AC=4\sin B$，而 $B=\pi-A-C$，故

等号当 $C+\varphi=\dfrac\pi2$，对应 $AB=AC$，即 $x=2y$。

同法十一构造 $\triangle ABC$ 及其外接圆（半径 $R=2$）。三角形面积为

底边 $BC=\sqrt7$ 固定、外接圆固定，当顶点 $A$ 位于所对劣弧的中点时高最大。弦心距为

最大高为 $R-\dfrac32=\dfrac12$，所以

于是 $(x+2y)^2=7+xy\leq 8$，$x+2y\leq 2\sqrt2$。等号当 $AB=AC$，即 $x=2y$。

配方后令 $n=x+\dfrac{3y}{2}$，$m=y$，条件化为标准椭圆：

写椭圆的参数方程：

目标恰好是 $n+\dfrac m2$：

等号当 $\sin\theta=\dfrac1{\sqrt8}$、$\cos\theta=\sqrt{\dfrac78}$，代回得 $x=\sqrt2,\ y=\dfrac{\sqrt2}{2}$。

在 $(n,m)$ 平面，约束是第一象限内的椭圆弧 $\dfrac{n^2}{7}+\dfrac{m^2}{4}=1$，目标 $z=n+\dfrac m2$ 表示一族平行直线。$z$ 最大时直线与椭圆恰好相切。把 $m=2(z-n)$ 代入：

相切时判别式为零：

解得 $z=\pm 2\sqrt2$，取正得 $z=2\sqrt2$。切点在第一象限，正数条件满足。

交叉项 $xy$ 说明椭圆的轴是斜的。沿着目标方向建立新坐标：令

则 $x+2y=2m$。代入条件：

即标准位置的椭圆

$m^2\leq 2$，故 $x+2y=2m\leq 2\sqrt2$。等号当 $n=0$、$m=\sqrt2$，此时 $x=2y=\sqrt2$。

构造两个向量：

由约束知 $|\vec m|=\sqrt7$，又 $|\vec n|=\sqrt{1+\dfrac17}=\sqrt{\dfrac87}$，而内积恰好是目标：

由 $\vec m\cdot\vec n\leq|\vec m||\vec n|$：

等号当 $\vec m,\vec n$ 同向，对应分量成比例，即 $x=2y$。

同法十七构造 $\vec m,\vec n$，$|\vec m|=\sqrt7$，$|\vec n|=\sqrt{\dfrac87}$。由三角不等式 $|\vec m+\vec n|\leq|\vec m|+|\vec n|$，两边平方。左边：

右边：

比较两式得 $2(x+2y)\leq 4\sqrt2$，即 $x+2y\leq 2\sqrt2$。等号当两向量同向，即 $x=2y$。

把向量换成复数：

则 $|z_1|=\sqrt7$，$|z_2|=\sqrt{\dfrac87}$。由复数模的三角不等式 $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$，

故 $x+2y\leq 2\sqrt2$。等号当 $z_1,z_2$ 辐角相同：

记 $u=x+\dfrac{3y}{2}$，$v=\dfrac{\sqrt7 y}{2}$，则 $u^2+v^2=7$。构造随机变量 $X$，使它以 $\dfrac78$ 的概率取 $u\sqrt{\dfrac87}$、以 $\dfrac18$ 的概率取 $v\sqrt8$：

计算二阶矩：

计算期望（注意 $\sqrt{\dfrac18}\,v=\sqrt{\dfrac78}\cdot\dfrac y2$）：

由方差非负 $D(X)=E(X^2)-(EX)^2\geq 0$：

等号当 $X$ 的两个取值相等（方差为零），即 $x=2y$。