勾股定理

定义

勾股定理：在直角三角形中，两直角边 $a$、$b$ 的平方和等于斜边 $c$ 的平方：

$a^2+b^2=c^2$

逆定理：若三角形三边 $a$、$b$、$c$ 满足 $a^2+b^2=c^2$，则它是直角三角形，且 $c$ 所对的角为直角。

正定理用来「已知直角算边长」，逆定理用来「已知边长判直角」，二者方向相反。逆定理的价值在于：不必先知道有没有直角，只要量出三边就能判定，这是测量中检验一个角是否为直角的常用办法。

推导

用「四个全等直角三角形拼正方形」的面积法证明思路。

构造一个边长为 $(a+b)$ 的大正方形，内部用 4 个直角边为 $a$、$b$、斜边为 $c$ 的全等直角三角形围成中间一个边长为 $c$ 的小正方形。

大正方形面积 = 4 个三角形面积 + 小正方形面积：

$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+c^2$

展开左边：

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$

两边减去 $2ab$：

$a^2+b^2=c^2$

这类证法的共同点是用面积关系把 $a^2+b^2$ 与 $c^2$ 接起来：把同一块图形用两种方法表示面积，等式就出现了。

常用勾股数

能构成直角三角形三边的三个正整数叫勾股数，记住它们可以快速识别：

勾股数	常见整数倍
$3,4,5$	$6,8,10$；$9,12,15$
$5,12,13$	$10,24,26$
$7,24,25$	—
$8,15,17$	—
$9,40,41$	—

勾股数同乘一个正整数仍是勾股数，如 $(3,4,5)$ 扩大 $2$ 倍得 $(6,8,10)$。看到边长里出现 $5$ 与 $13$，就该想到是不是 $5,12,13$ 这一组。

三类常见应用

1. 直接求边长：已知两边求第三边，先分清所求的是斜边还是直角边——求斜边用 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，求直角边用 $a=\sqrt{c^2-b^2}$
2. 折叠问题：矩形沿某条线折叠后，折叠前后的对应线段相等。设未知线段长为 $x$，把直角三角形三边用 $x$ 表示，再列方程
3. 立体表面最短路径：把侧面展开成平面，最短路径成为直角三角形的斜边（见《几何图形与展开图》）

第 2 类最能体现勾股定理的典型用法：设一个未知数，用「折叠前后相等」找出三边的表达式，再列方程求解。

在数轴上表示无理数

勾股定理还给出了无理数的几何作法。例如作 $\sqrt{13}$：因为 $13=2^2+3^2$，作直角边为 $2$ 和 $3$ 的直角三角形，其斜边长就是 $\sqrt{13}$；用圆规把这段长度从原点截到数轴上，就得到表示 $\sqrt{13}$ 的点。类似地，$\sqrt{2}$ 由两条直角边为 $1$ 的等腰直角三角形得到。

这说明无理数不只是「写不完的小数」，而是可以精确作出来的长度。

典例精析

例 1 已知直角三角形两直角边 $a=3$、$b=4$，求斜边 $c$。

解：

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

例 2 已知斜边 $c=13$，一直角边 $a=5$，求另一直角边 $b$。

解：

$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$

结果：$b=12$，对应经典勾股数 $(5,12,13)$。

例 3 判断三边为 $7$、$8$、$10$ 的三角形是不是直角三角形。

解：取最长边 $10$ 当作 $c$，检验 $7^2+8^2=49+64=113$，而 $10^2=100$，两者不等，故不是直角三角形。检验时必须拿最长边当作 $c$，否则会得出错误结论。

例 4 一个直角三角形有两边长为 $3$ 和 $4$，求第三边。

解：这里 $4$ 可能是斜边，也可能是直角边，必须分两种情形：

• 若 $4$ 是斜边，第三边为 $\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$
• 若 $4$ 是直角边，第三边（斜边）为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$

「已知两边求第三边」却没说清哪条是斜边时，一定要分类讨论——这是这一节最容易漏解的地方。

与其他知识的联系

勾股定理把「形」与「数」接在了一起：它是平面直角坐标系中两点间距离公式的来源，$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ 正是勾股定理；也是后续三角函数的出发点——直角三角形中的边角关系（锐角三角函数）建立在边长关系之上。

再往上，任意三角形中它推广为余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$：当 $C=90^{\circ }$ 时余弦项为 $0$，就退回到勾股定理。