一元二次方程

定义

一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 $2$ 的整式方程，称为一元二次方程。其一般形式为

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

其中 $a{x}^2$ 称为二次项，$a$ 为二次项系数；$bx$ 称为一次项，$b$ 为一次项系数；$c$ 称为常数项。

三个条件缺一不可：只有一个未知数（含两个未知数的是二元方程）、最高次数为 $2$（$a=0$ 时退化为一次方程）、整式方程（分母含未知数的是分式方程）。判定时尤其要注意第三点：$x^2+\frac{1}{x}=0$ 不是一元二次方程。

化为一般式时，$b$、$c$ 可以为 $0$（如 $x^2-4=0$ 缺一次项，$x^2-3x=0$ 缺常数项），这些「缺项」的方程照样是一元二次方程。

一元二次方程的解法主要有四种：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

四种解法怎么选

解法	适用情形	例子
直接开平方法	形如 $(mx+n{)}^2=p$ 或 $x^2=p$，其中 $p\ge 0$	$(x-1{)}^2=4$
因式分解法	左边能分解成两个一次因式之积	$x^2-5x+6=0$
配方法	二次项系数为 $1$、一次项系数为偶数时最顺手	$x^2-4x+2=0$
公式法	通用办法，任何情形都能用	$2x^2-5x+1=0$

选择的顺序一般是：先看能不能因式分解（最快），不能就直接用公式法（最稳）。配方法单独出题时才作为主方法使用，但它的思路催生了求根公式，也催生了二次函数的顶点式——这三个地方其实是同一个配方动作。

因式分解法的三步

1. 把方程化为一般式，使右边为 $0$
2. 把左边分解成两个一次因式之积。对 $x^2+px+q$，找两个数 $m$、$n$ 使 $m+n=p$、$mn=q$，则 $x^2+px+q=(x+m)(x+n)$（十字相乘法）
3. 令每个因式分别等于 $0$，得到两个一元一次方程，逐个求解

依据只有一条：两个数的乘积为 $0$，则其中至少有一个为 $0$。这一步是整道题的关键跨越——它把「二次」降成了两个「一次」。

不能在右边不为 $0$ 时就分解：由 $x(x-2)=3$ 推不出 $x=3$ 或 $x-2=3$，必须先移项使右边为 $0$。

判别式先看

动手之前先算 $\Delta =b^2-4ac$，它能立刻告诉你根的情况，避免白算一场：

$\Delta$ 取值	根的情况
$\Delta >0$	有两个不相等的实根
$\Delta =0$	有两个相等的实根（重根）
$\Delta <0$	没有实根

注意 $\Delta =0$ 时规范说法是「有两个相等的实根」（重根），口语常说成「只有一个根」，意思相同但答卷上要按规范说法写。

推导

下面用配方法推导求根公式。

步骤	式子	依据
1	$a{x}^2+bx=-c$	移项
2	$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$	两边除以 $a$（$a\ne 0$）
3	${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$	配方并合并右边
4	$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$	两边开平方

记 $\Delta =b^2-4ac$，称为判别式。当 $\Delta \ge 0$ 时，求根公式为

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

典例精析

例 1：用因式分解法解 $x^2-5x+6=0$。

因式分解：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$，故 $x-2=0$ 或 $x-3=0$，解得 $x_1=2$，$x_2=3$。

验证：$\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1>0$，确有两不等实根，与因式分解结果一致。

例 2：用公式法解 $x^2-4x+2=0$。

由 $a=1$，$b=-4$，$c=2$，得 $\Delta =b^2-4ac=(-4{)}^2-4\times 1\times 2=16-8=8>0$，故有两个不等实根：

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{4\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm \sqrt{2}$

即 $x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。

例 3：用直接开平方法解 $(x-1{)}^2=9$。

两边开平方得 $x-1=\pm 3$，故 $x_1=4$，$x_2=-2$。

例 4：判断 $x^2+x+1=0$ 有无实根。

$\Delta =1-4=-3<0$，故原方程在实数范围内无解。不必再套公式——这一步省下的时间正是先看判别式的意义。

常见错：方程 $x(x-2)=3$ 直接写成 $x=3$ 或 $x-2=3$。乘积化成一边的 $3$ 并不能推出因子等于 $3$，必须先把右边化为 $0$。

与其他知识的联系

一元二次方程是初中代数的中心内容，三条线在这里交汇：

• 因式分解：因式分解法解方程是它的直接应用
• 二次函数：令 $y=0$ 求交点，二次方程的解就是抛物线交点的横坐标；判别式决定交点个数
• 判别式与韦达定理：不求解也能谈论根的性质

往后，它可以推广为一元二次不等式（借助函数图象求解集），而判别式的角色在高中将更加突出。