基本不等式

定义

基本不等式：对任意正实数 $a$、$b$，有

$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$

等号当且仅当 $a=b$ 时成立。等价变形：

$a+b\ge 2\sqrt{ab}(a,b>0)$

$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2(a,b>0)$

推导

几何推导：以 $a+b$ 为直径作半圆，过直径分点 $P$（$AP=a$、$PB=b$）作直径的垂线交半圆于 $Q$，则 $PQ=\sqrt{ab}$。由”半弦不超过半径”得 $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$，等号当 $P$ 为圆心（即 $a=b$）时取得。

代数推导（差比较）：

$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{2}\ge 0$

等号当且仅当 $\sqrt{a}=\sqrt{b}$，即 $a=b$ 时成立。

变形链：对 $a,b>0$，

• 和积关系：$a+b\ge 2\sqrt{ab}$；
• 积与和的平方：$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$；
• 倒数关系：当 $x>0$ 时 $x+\frac{1}{x}\ge 2$，等号当 $x=1$ 时取得。

最值口诀（“一正二定三相等”）：

1. 一正：涉及的变量必须取正值；
2. 二定：求积的最大值时和必须为定值，求和的最小值时积必须为定值；
3. 三相等：等号必须能够取得（验证 $a=b$ 时变量有解）。

典例精析

例 1：已知 $x>0$，求 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 的最小值。

由基本不等式 $x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=2\cdot 2=4$，等号当 $x=\frac{4}{x}$ 即 $x=2$ 时取得（$x=2>0$ 在定义域内），故 $f(x{)}_{\min }=4$。

例 2：已知 $a,b>0$ 且 $a+b=4$，求 $ab$ 的最大值。

由 $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2={\left(\frac{4}{2}\right)}^2=4$，等号当 $a=b=2$ 时取得，故 $a{b}_{\max }=4$。

例 3：已知 $0<x<2$，求 $f(x)=x(4-2x)$ 的最大值。

变形 $f(x)=2x(2-x)$。由 $0<x<2$ 知 $x>0$、$2-x>0$，且 $x+(2-x)=2$ 为定值，故 $x(2-x)\le {\left(\frac{x+(2-x)}{2}\right)}^2=1$，等号当 $x=2-x$ 即 $x=1$（在 $(0,2)$ 内）时取得。

故 $f(x{)}_{\max }=2\times 1=2$。

对比

公式形式	适用条件	等号条件	典型用途
$a+b\ge 2\sqrt{ab}$	$a,b>0$	$a=b$	和为定值求积最大
$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$	$a,b>0$	$a=b$	几何直观
$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$	$a,b>0$	$a=b$	求积的最大值
$x+\frac{1}{x}\ge 2$	$x>0$	$x=1$	求和的最小值