柯西不等式

定义

柯西不等式（二维形态）：对任意实数 $a,b,c,d$，有

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$

等号当且仅当 $ad=bc$（两组成比例）时成立。

向量形态：对任意两个平面向量 $\vec{a},\vec{b}$，

$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$

等号当且仅当 $\vec{a},\vec{b}$ 共线时成立。去掉绝对值即 $\vec{a}\cdot \vec{b}\le |\vec{a}||\vec{b}|$。

推导

代数证法：展开两边之差，

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd{)}^2=a^2{d}^2+b^2{c}^2-2abcd=(ad-bc{)}^2\ge 0$

平方恒非负，故不等式成立；等号当且仅当 $ad-bc=0$，即 $ad=bc$。$■$

向量证法：由数量积定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，而 $|\cos \theta |\le 1$，故

$|\vec{a}\cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}||\cos \theta |\le |\vec{a}||\vec{b}|$

等号当 $|\cos \theta |=1$，即两向量共线时取得。$■$

Engel 形态（权方和）：当 $m,n>0$ 时，

$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge \frac{(x+y{)}^2}{m+n}$

它由柯西两边同除以正数 $mn$ 移项得到，等号当 $\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$ 时取得。

典例精析

例 1：已知正数 $x,y$ 满足 $x^2+3xy+4y^2=7$，求 $x+2y$ 的最大值。

先配方：

$7={\left(x+\frac{3y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{7}y}{2}\right)}^2$

用柯西，取 $(c,d)=\left(1,\frac{1}{\sqrt{7}}\right)$：

$(x+2y{)}^2={\left[\left(x+\frac{3y}{2}\right)+\frac{\sqrt{7}y}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{7}}\right]}^2\le 7\left(1+\frac{1}{7}\right)=8$

故 $x+2y\le 2\sqrt{2}$，等号当 $\frac{x+\frac{3y}{2}}{1}=\frac{\frac{\sqrt{7}y}{2}}{\frac{1}{\sqrt{7}}}$，即 $x=2y$ 时取得。

例 2：求函数 $f(x)=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}$ 的最大值。

定义域 $1\le x\le 5$。把两个根式看成一组：

$f(x{)}^2\le (3^2+4^2)((\sqrt{x-1}{)}^2+(\sqrt{5-x}{)}^2)=25\times 4=100$

故 $f(x)\le 10$，等号当 $\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}$，解得 $x=\frac{61}{25}$，在定义域内，最大值 $10$。

对比

形态	公式	等号条件	典型用途
二维代数	$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$	$ad=bc$	条件最值
向量形态	$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$	两向量共线	夹角、距离
Engel 形态	$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge \frac{(x+y{)}^2}{m+n}$	$\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$	分式求和最值
基本不等式	$a+b\ge 2\sqrt{ab}$	$a=b$	和积互化（特例）