配方法：把二次式凑成完全平方

常见表现形式

• 解一元二次方程（求根公式的来源）
• 求二次函数的顶点与最值
• 证明不等式（平方非负放缩）
• 多元式分组配方，处理交叉项

在哪些母题中出现

• 清华强基题：x²+y²+xy=1 求 x-y 最大值的七种解法

方法步骤

以 $x^2+bx+c$ 为例，配方就是补上「一次项系数一半的平方」：

步骤	操作	例：$x^2+6x+5$
一	取一次项系数的一半	$6÷2=3$
二	加上并减去它的平方	$x^2+6x+9-9+5$
三	前三项合成完全平方	$(x+3{)}^2-4$

为什么配方总能奏效

完全平方 $(x+m{)}^2$ 的最小值是 $0$。一旦把式子写成 $(x+m{)}^2+n$，它的最值、符号、取值范围全部一目了然。配方的全部威力都来自「任何实数的平方都不是负数」这条小学就学过的事实——把新知识挂在旧知识上，这正是知识网络的织法。

典例精析

例 1（一元式配方求最值） 求 $y=x^2+6x+5$ 的最小值。

配方：$y=(x+3{)}^2-4$。由 $(x+3{)}^2\ge 0$ 知 $y\ge -4$，等号在 $x=-3$ 时取到，最小值为 $-4$。配方让最值从「待求」变成「直接读」。

例 2（二元式分组配方处理交叉项） 已知 $x^2+y^2+xy=1$，求 $x-y$ 的最值。

把条件配方：$x^2+y^2+xy=\frac{(x+y{)}^2}{2}+\frac{(x-y{)}^2}{2}+\frac{(x+y{)}^2-(x-y{)}^2}{4}$ 太繁，整理后即 $x^2+y^2+xy=\frac{3(x+y{)}^2+(x-y{)}^2}{4}$。令 $u=x+y$、$v=x-y$，则 $\frac{3u^2+v^2}{4}=1$，即 $v^2=4-3u^2\le 4$，故 $|x-y|=|v|\le 2$。配方让交叉项显形，最值直接读出。

例 3（多元式分组配方） 求 $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ 的最小值。

分组配方：$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}[(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2]\ge 0$，等号在 $x=y=z$ 时取到。多元配方常常要「分组凑完全平方」，每凑出一组，非负性就为你工作一次。

辨析与提醒

• 二次项系数非 1 忘提公因式：$2x^2+4x$ 应先提 $2$ 得 $2(x^2+2x)=2[(x+1{)}^2-1]=2(x+1{)}^2-2$。不提公因式直接对 $4x$ 配方，容易把 ${\left(\frac{4}{2}\right)}^2$ 漏算平方、误写成 $2$（应为 $4$）。
• 加项忘减项：$x^2+6x$ 加 $9$ 配成 $(x+3{)}^2$，但原式没有 $9$，必须同时减 $9$ 才恒等。漏减会破坏等式，得到错误最值。
• 开方只取正根：由 $(x+3{)}^2=4$ 得 $x+3=\pm 2$，两根 $x=-1$ 与 $x=-5$ 都要写。只写 $x+3=2$ 会丢掉 $x=-5$ 这一支。

跨学段衔接

小学「凑十法」是配方的雏形——把 $7+8$ 凑成 $7+(3+5)=(7+3)+5=10+5$，本质是用已知结构（10）重新包装未知结构；初中「配方法解一元二次方程」是配方第一次作为独立工具登场；高中「二次曲线化标准形」「不等式证明」靠配方铺路；大学「二次型正交对角化」是配方在矩阵语言中的机械化升级——配方从手工凑巧，发展到由特征值机械算出。配方贯穿整条代数线，是少数几个「学一次用十年」的工具之一。