平面直角坐标系

定义

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，水平的叫 $x$ 轴（横轴），铅直的叫 $y$ 轴（纵轴），它们的公共原点叫作坐标原点 $O$。这样就建立了平面直角坐标系。

平面内任一点 $P$ 的位置由一对有序实数 $(x,y)$ 唯一确定，记作 $P(x,y)$，其中 $x$ 叫横坐标，$y$ 叫纵坐标。

由 $x$ 轴和 $y$ 轴把平面分成的四部分按逆时针方向依次叫作第一、二、三、四象限。

有序数对的「有序」二字必须落实：$(2,3)$ 与 $(3,2)$ 是两个不同的点。横坐标写在前面，纵坐标写在后面，顺序不能换。

推导

设点 $P(x,y)$，其位置与坐标符号关系如下表：

点的位置	横坐标 $x$	纵坐标 $y$
第一象限	$+$	$+$
第二象限	$-$	$+$
第三象限	$-$	$-$
第四象限	$+$	$-$
$x$ 轴上	任意	$0$
$y$ 轴上	$0$	任意

象限按逆时针方向编号，从右上开始。坐标轴上的点不属于任何象限——这一点常被忽略，因为 $x$ 轴上的点纵坐标为 $0$，既不算正也不算负，无法归入按符号划分的象限。

特殊位置的点

• $x$ 轴上的点：$(a,0)$，纵坐标为 $0$
• $y$ 轴上的点：$(0,b)$，横坐标为 $0$
• 原点：$(0,0)$
• 平行于 $x$ 轴的直线上的点：纵坐标相同
• 平行于 $y$ 轴的直线上的点：横坐标相同

对称点的坐标规律（这一组是高频考点）：

对称方式	坐标变化	示例
关于 $x$ 轴对称	横坐标不变，纵坐标变号	$(2,3)\to (2,-3)$
关于 $y$ 轴对称	纵坐标不变，横坐标变号	$(2,3)\to (-2,3)$
关于原点对称	两个坐标都变号	$(2,3)\to (-2,-3)$

点到坐标轴的距离

点 $P(x,y)$ 到 $x$ 轴的距离是 $|y|$，到 $y$ 轴的距离是 $|x|$，到原点的距离是 $\sqrt{x^2+y^2}$。

注意这里用的是绝对值：点 $(-3,2)$ 到 $y$ 轴的距离是 $|-3|=3$，而不是 $-3$。距离永远非负，这与绝对值的几何意义是同一件事。

典例精析

在平面直角坐标系中，描出点 $A(2,3)$、$B(-2,-3)$、$C(0,-1)$。

• $A(2,3)$：横坐标 $2>0$，纵坐标 $3>0$，在第一象限；
• $B(-2,-3)$：两坐标均为负，在第三象限；
• $C(0,-1)$：横坐标为 $0$，纵坐标为 $-1$，在 $y$ 轴负半轴上。

再练一道判定题：若点 $P(a,b)$ 在第二象限，则 $a<0$、$b>0$，于是 $-a>0$、$-b<0$，所以点 $(-a,-b)$ 在第四象限。这类题的做法是先由象限定出字母的符号，再判断新坐标的符号，不要靠画图猜。

对比

点	横坐标	纵坐标	所在象限
$(2,3)$	$2$	$3$	第一象限
$(-2,3)$	$-2$	$3$	第二象限
$(-2,-3)$	$-2$	$-3$	第三象限
$(2,-3)$	$2$	$-3$	第四象限

坐标方法的简单应用

用坐标表示地理位置的固定流程：

1. 建立坐标系：选一个适当的参照点为原点，规定 $x$ 轴、$y$ 轴的正方向（通常向东为 $x$ 轴正方向、向北为 $y$ 轴正方向）

2. 确定单位长度：根据实际距离选取比例尺

3. 描点写坐标：在坐标平面内描出各地点，写出坐标并标注名称

原点选得好，坐标就简洁：把原点放在交通枢纽或区域中心，常能让多个地点的坐标不含负数。

坐标系还能描述图形的运动：点向右（左）平移 $m$ 个单位，横坐标加（减）$m$；向上（下）平移 $n$ 个单位，纵坐标加（减）$n$。图形的运动由此变成坐标数字的加减。

与其他知识的联系

坐标系把「数」和「形」接了起来：一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是双曲线，二次函数给出抛物线——它们都能用坐标描点画出来，反过来图像的交点、与坐标轴的交点又对应着方程的解。用坐标表示平移，则让图形的运动变成坐标数字的加减，这正是坐标方法的价值。