三角换元：让正弦余弦代管平方和

常见表现形式

• 配方后令各平方项分别为 $\cos\theta$ 与 $\sin\theta$
• 用辅助角公式把线性组合合成单个余弦
• 由余弦振幅直接读出最大值与最小值

在哪些母题中出现

• 清华强基题：x²+y²+xy=1 求 x-y 最大值的七种解法

三角换元三步走

步骤	操作	本题示范
配方	把条件写成平方和 $=1$	${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{y}^2=1$
换元	两项分别令为 $\cos \theta$、$\sin \theta$	$x+\frac{y}{2}=\cos \theta$
合成	目标式用辅助角公式合并	$x-y=2\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$

为什么它能压住最值

余弦函数的值域是 $[-1,1]$，振幅已知。一旦把目标式写成 $A\cos (\theta +\phi )$，最大值 $|A|$ 立即到手，而且等号条件 $\theta =-\phi$ 同时给出——范围与取等一步完成，这正是三角换元省心之处。

典例精析

例 1（标准三角换元） 已知 $x^2+y^2=1$，求 $x-y$ 的范围。

直接令 $x=\cos \theta$、$y=\sin \theta$，则 $x-y=\cos \theta -\sin \theta =\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$，故 $|x-y|\le \sqrt{2}$。这是无交叉项时的最简情形，换元一步到位。

例 2（先配方再换元） 在 $x^2+y^2+xy=1$ 下求 $x-y$ 的最值。

不能直接令 $x=\cos \theta$、$y=\sin \theta$（交叉项 $xy$ 会纠缠）。先配方：${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{y}^2=1$。再换元：令 $x+\frac{y}{2}=\cos \theta$、$\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin \theta$，则

$$x-y=\cos \theta -\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\sin \theta =\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta =2\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

故 $|x-y|\le 2$。配方 → 换元 → 合成三步走是标准连招。

例 3（含根式的换元） 化简 $\sqrt{4-x^2}$。

由 $4-x^2\ge 0$ 知 $|x|\le 2$，令 $x=2\sin \theta$（$\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 保证 $\cos \theta \ge 0$），则 $\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-4{\sin }^2\theta }=2\cos \theta$。这里换元把根式化为三角式，是积分计算的常用预处理。

辨析与提醒

• 系数没配平就换元：例 2 中 $\frac{3}{4}{y}^2$ 对应 $\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin \theta$，不是 $y=\sin \theta$。系数错了，整个换元失真，最值算出来与原式无关。
• 角度范围忘写：例 3 中 $\theta$ 必须限制在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，否则 $\cos \theta$ 可能为负，$\sqrt{4-x^2}=2\cos \theta$ 不成立。换元时的角度范围要保证每个原变量取值都被取到（不多也不少）。
• 辅助角公式用错符号：$\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta =2\cos \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$，不是 $2\cos \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$。辅助角公式 $a\cos \theta +b\sin \theta =\sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta -\phi )$ 中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$，符号要由 $a$、$b$ 的正负定。

三角换元的几何根

条件形状	几何意义	换元
$x^2+y^2=r^2$	圆	$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$
$x^2-y^2=r^2$	双曲线	$x=r\sec \theta$，$y=r\tan \theta$
$\sqrt{r^2-x^2}$	圆的纵标	$x=r\sin \theta$
$\sqrt{x^2-r^2}$	双曲线横标	$x=r\sec \theta$

三角换元的主要依据是「平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$」——这是圆方程的参数化。看到平方和为定值，就想到圆；看到圆，就想到角度。这是数形结合在换元上的具体化，也是这类换元在平方和条件下奏效的真正原因。