平面向量

定义

向量：既有大小又有方向的量叫向量。向量常用有向线段表示，记作 $\overrightarrow{AB}$（从 $A$ 指向 $B$）或用小写字母加箭头 $\vec{a}$。

向量的基本概念：

• 模：向量 $\vec{a}$ 的大小，记 $|\vec{a}|$；
• 零向量：模为 $0$ 的向量，记 $\vec{0}$，方向任意；
• 单位向量：模为 $1$ 的向量；
• 平行向量：方向相同或相反的非零向量，记 $\vec{a}\parallel \vec{b}$；
• 相等向量：模相等且方向相同的向量，记 $\vec{a}=\vec{b}$。

推导

向量线性运算：

1. 加法：三角形法则（首尾相接，从首到末）；平行四边形法则（同起点作邻边，对角线即和向量）。
2. 减法：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（同起点，从 $\vec{b}$ 末点指向 $\vec{a}$ 末点）。
3. 数乘：$\lambda \vec{a}$ 是与 $\vec{a}$ 平行的向量，$|\lambda \vec{a}|=|\lambda |\cdot |\vec{a}|$，方向由 $\lambda$ 正负决定。

数量积（点积）：设 $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ 分别为两向量模，$\theta$ 为它们夹角（$0\le \theta \le \pi$）：

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

性质：

• $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$；
• $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\iff \vec{a}\perp \vec{b}$（$\vec{a},\vec{b}$ 均非零时）；
• $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$。

坐标表示：在平面直角坐标系中，设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$、$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则：

运算	坐标公式
加法	$\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
减法	$\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$
数乘	$\lambda \vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1)$
模	$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$
数量积	$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$
夹角余弦	$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$
平行充要条件	$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$
垂直充要条件	$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

典例精析

例 1：已知 $\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(-1,3)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$、$2\vec{a}-\vec{b}$、$\vec{a}\cdot \vec{b}$、$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

• $\vec{a}+\vec{b}=(2-1,1+3)=(1,4)$；
• $2\vec{a}-\vec{b}=(4-(-1),2-3)=(5,-1)$；
• $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times (-1)+1\times 3=1$；
• $|\vec{a}|=\sqrt{5}$，$|\vec{b}|=\sqrt{10}$，$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，故 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{2}}{10}$。

例 2：已知 $|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{6}{3\times 4}=\frac{1}{2}$，故 $\theta =60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$。

例 3：已知 $\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(m,4)$，且 $\vec{a}\perp \vec{b}$，求 $m$。

由 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 知 $1\times m+2\times 4=0$，$m=-8$。

对比

项目	数量（标量）	向量
性质	只有大小	有大小和方向
比较大小	可以	不可以（只能比模）
加法	代数和	三角形 / 平行四边形法则
乘法	代数积	数乘（标量乘）、数量积（点积）、向量积（叉积，高中不学）