二次函数

定义

一般式：形如

$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

的函数称为二次函数，其中 $a,b,c$ 为常数，$a$ 称为二次项系数，$b$ 为一次项系数，$c$ 为常数项。

顶点式：通过配方，一般式可化为

$y=a(x-h{)}^2+k$

其中 $(h,k)$ 为抛物线的顶点。当 $a>0$ 时开口向上，当 $a<0$ 时开口向下。由顶点式可直接读出顶点坐标 $(h,k)$ 与对称轴 $x=h$。对比一般式与顶点式，可得 $h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

交点式（也称两根式）：若抛物线与 $x$ 轴交于 $(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则解析式可写成

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

它的好处是一眼看出两个交点，且与一元二次方程的因式分解法完全对应。

三种形式的选用原则：

已知条件	选用哪种设法	例子
任意三点坐标	一般式 $y=a{x}^2+bx+c$	过 $(0,1)$、$(1,0)$、$(2,3)$
顶点坐标（或对称轴与最值）	顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$	顶点为 $(1,-4)$
与 $x$ 轴的两个交点	交点式 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$	交点为 $(-1,0)$、$(3,0)$

选对形式能省去大半计算量：给了顶点就不要再设一般式去解方程。

三个系数各管什么

• $a$：决定开口方向与大小。$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下；$|a|$ 越大开口越窄（同样的 $x$ 增量引起更大的 $y$ 变化）。两条抛物线的 $a$ 相同，就可以通过平移互相得到
• $b$：单独看不出什么，但与 $a$ 合起来决定对称轴的位置。由 $x=-\frac{b}{2a}$ 的符号可判断对称轴在 $y$ 轴的哪一侧——这就是常说的左同右异：对称轴在 $y$ 轴左侧时 $a$、$b$ 同号，在右侧时 $a$、$b$ 异号
• $c$：决定与 $y$ 轴交点的位置，交点坐标为 $(0,c)$

于是拿到一串系数符号就能勾出抛物线的大致位置：先看 $a$ 定开口，再看对称轴落在哪边，最后让曲线经过 $(0,c)$。

增减性与最值

对称轴 $x=h$ 把整个定义域分成两半，两侧的增减性相反：

开口	对称轴左侧	对称轴右侧	顶点处的性质
$a>0$ 向上	$y$ 随 $x$ 增大而减小	$y$ 随 $x$ 增大而增大	最低点，有最小值 $k$
$a<0$ 向下	$y$ 随 $x$ 增大而增大	$y$ 随 $x$ 增大而减小	最高点，有最大值 $k$

所有最值问题（利润最大、面积最大、物体上升的最高高度）最后都落到同一件事：求顶点的纵坐标。

平移

顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$ 可以看成由 $y=a{x}^2$ 平移得到：先向右平移 $h$ 个单位（$h<0$ 时向左），再向上平移 $k$ 个单位（$k<0$ 时向下）。概括起来仍是左加右减、上加下减，与一次函数的平移规律完全一致。

平移不改变 $a$，所以平移前后两条抛物线的形状完全相同，只是位置不同。

与 $x$ 轴的交点

令 $y=0$，得到一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$。它的判别式决定交点个数：

$\Delta =b^2-4ac$	与 $x$ 轴的交点
$\Delta >0$	两个不同的交点，横坐标即方程的两根
$\Delta =0$	只有一个交点（顶点落在 $x$ 轴上）
$\Delta <0$	没有交点

这是二次函数与一元二次方程的接点：图象上看交点，方程里算判别式，说的是同一件事。

推导

下面用配方法把一般式 $y=a{x}^2+bx+c$ 化为顶点式。

步骤	式子	依据
1	$y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$	提出二次项系数 $a$
2	$y=a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c$	配方加上并减去 ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$
3	$y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a}+c$	展开 $a\cdot \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)$
4	$y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$	合并常数项

故顶点为 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$，对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$。

典例精析

求二次函数 $y=x^2-4x+3$ 的顶点坐标、对称轴及开口方向。

由 $a=1,b=-4,c=3$，得：

• 对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times 1}=2$；
• 顶点纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times 1\times 3-(-4{)}^2}{4\times 1}=\frac{12-16}{4}=-1$；
• 顶点坐标：$(2,-1)$；
• 因 $a=1>0$，开口向上。

配方验证：$y=x^2-4x+3=(x-2{)}^2-1$，顶点为 $(2,-1)$，结论一致。

例 2：已知抛物线与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$ 与 $(3,0)$，且过点 $(0,3)$，求解析式。

有两个交点，用交点式 $y=a(x+1)(x-3)$。代入 $(0,3)$：

$3=a\cdot 1\cdot (-3)⟹a=-1$

故解析式为 $y=-(x+1)(x-3)$，展开得 $y=-x^2+2x+3$。

例 3：求 $y=-2x^2+8x-5$ 的最大值，并说明在何处取得。

配方：$y=-2(x^2-4x)-5=-2(x-2{)}^2+8-5=-2(x-2{)}^2+3$。

开口向下，故当 $x=2$ 时有最大值 $3$。

常见错：把顶点纵坐标记成 $\frac{b^2-4ac}{4a}$——正确结果是 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，两者相差一个负号。用上面的例 1 检验：前者给出 $1$，而实际顶点的纵坐标是 $-1$，方向正好相反。

与其他知识的联系

二次函数是初中阶段最后一个、也是内容最丰富的函数。研究它的套路与一次函数完全一致（解析式 → 图象 → 性质 → 应用），但因为多了对称轴与顶点，性质这一层丰富得多。

它与另外两块内容直接咬合：一元二次方程（令 $y=0$ 求交点）、配方法（把一般式化为顶点式）。而配方法是三者共同的由来——用它推导求根公式，也用它找顶点坐标，这两个动作其实是同一个配方过程。

往后，二次不等式、二次函数的区间最值，以及高中更复杂的函数研究，都是这套方法的延伸。