圆锥曲线

定义

圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 $F$（焦点）与定直线 $l$（准线）的距离之比等于常数 $e$（离心率）的点的轨迹。

• $0<e<1$：椭圆；
• $e=1$：抛物线；
• $e>1$：双曲线。

推导

椭圆：平面内到两定点 $F_1$、$F_2$ 距离之和等于常数 $2a$（$2a>|F_1{F}_2|=2c$）的点的轨迹。

标准方程（焦点在 $x$ 轴）：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

关系：$c^2=a^2-b^2$；焦点 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$；离心率 $e=\frac{c}{a}\in (0,1)$。

双曲线：平面内到两定点 $F_1$、$F_2$ 距离之差的绝对值等于常数 $2a$（$2a<2c$）的点的轨迹。

标准方程（焦点在 $x$ 轴）：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$

关系：$c^2=a^2+b^2$；焦点 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$；离心率 $e=\frac{c}{a}>1$；渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

抛物线：平面内到定点 $F$ 与定直线 $l$ 距离相等的点的轨迹。

标准方程（焦点在 $x$ 轴正方向）：

$y^2=2px(p>0)$

焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$；准线 $x=-\frac{p}{2}$；离心率 $e=1$。

四种开口方向对应四种标准方程：

方程	开口方向	焦点	准线
$y^2=2px$（$p>0$）	向右	$\left(\frac{p}{2},0\right)$	$x=-\frac{p}{2}$
$y^2=-2px$（$p>0$）	向左	$\left(-\frac{p}{2},0\right)$	$x=\frac{p}{2}$
$x^2=2py$（$p>0$）	向上	$\left(0,\frac{p}{2}\right)$	$y=-\frac{p}{2}$
$x^2=-2py$（$p>0$）	向下	$\left(0,-\frac{p}{2}\right)$	$y=\frac{p}{2}$

典例精析

例 1：求椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的焦点、离心率、长轴与短轴长。

$a=3$、$b=2$、$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。

焦点 $(\pm \sqrt{5},0)$；离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{3}$；长轴长 $2a=6$；短轴长 $2b=4$。

例 2：求焦点在 $x$ 轴、渐近线为 $y=\pm \frac{3}{2}x$、焦距为 $2\sqrt{13}$ 的双曲线方程。

$c=\sqrt{13}$、$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$、$c^2=a^2+b^2=13$。设 $a=2t$、$b=3t$，则 $4t^2+9t^2=13$，$t^2=1$，故 $a=2$、$b=3$。

双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$。

例 3：已知抛物线 $y^2=4x$，焦点 $F$，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A(1,y_0)$、$B$，求 $|AB|$。

由 $y^2=4x$ 知 $A(1,2)$ 或 $(1,-2)$（取 $A(1,2)$），$F(1,0)$。

$F(1,0)$ 与 $A(1,2)$ 横坐标相同，故直线 $FA$ 为 $x=1$，但 $x=1$ 与抛物线相交于 $(1,\pm 2)$，故 $B(1,-2)$。

$|AB|=|2-(-2)|=4$。

对比

项目	椭圆	双曲线	抛物线
标准方程	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$y^2=2px$
关系	$c^2=a^2-b^2$	$c^2=a^2+b^2$	$p$ 为焦准距
离心率 $e$	$0<e<1$	$e>1$	$e=1$
渐近线	无	$y=\pm \frac{b}{a}x$	无
焦点数	2	2	1
准线	有（两条）	有（两条）	有（一条）