随机变量和以前学的变量有什么不同？

普通变量取值是确定的或由方程决定；随机变量取哪个值由随机试验决定，试验前只知道它取各值的概率。

分布列有哪两条检验标准？

一是每个概率非负 $p_i\ge0$；二是全部概率之和为 $1$。两条同时满足才是合法分布列。

二项分布什么时候用？

$n$ 次独立重复试验，每次只有「成功/失败」两种结果且成功概率 $p$ 固定，成功次数 $X$ 服从 $B(n,p)$，$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$。

离散型随机变量及其分布列

随机变量是把随机试验结果数量化的变量；离散型随机变量的分布列列出全部取值及对应概率，满足 $p_i\ge0$ 、 $\sum p_i=1$ ，是计算期望与方差的基础。

定义

随机变量：把随机试验的每一个结果对应到一个实数的变量，常用大写字母 $X, Y$ 表示。事件「 $X$ 取值为 $x_{i}$ 」记为 ${X = x_{i}}$ 。

离散型随机变量：取值能一一列举出来的随机变量。设其取值为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，对应概率为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ ，则下表称为 $X$ 的分布列：

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{n}$

分布列的两条性质： $p_{i} \geq 0$ （ $i = 1, 2, \dots, n$ ）； $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ 。

推导

分布列的两条性质直接来自概率的基本性质：

任何事件的概率都在 $[0, 1]$ 内，故事件 ${X = x_{i}}$ 的概率 $p_{i} \geq 0$ ；
事件 ${X = x_{1}}, \dots, {X = x_{n}}$ 两两互斥且构成必然事件（ $X$ 必取某个值），由互斥事件概率加法：

$p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = P (X = x_{1} 或 \dots 或 X = x_{n}) = 1$

因此任何候选分布列都要过「非负」与「和为 $1$ 」两道检验。

典例精析

例 1：袋中有 3 个红球、2 个白球，不放回取 2 个，记 $X$ 为取到红球的个数，写出分布列。

$X$ 可取 $0, 1, 2$ ：

$P (X = 0) = \frac{C _{2}^{2}}{C _{5}^{2}} = \frac{1}{10}, P (X = 1) = \frac{C _{3}^{1} C _{2}^{1}}{C _{5}^{2}} = \frac{6}{10}, P (X = 2) = \frac{C _{3}^{2}}{C _{5}^{2}} = \frac{3}{10}$

检验： $\frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = 1$ ，分布列合法。

例 2：已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} = 7$ ，证明 $x + 2 y \leq 22$ 。记 $u = x + \frac{3 y}{2}$ 、 $v = \frac{7 y}{2}$ ，令 $X$ 以概率 $\frac{7}{8}$ 取 $u \frac{8}{7}$ 、以概率 $\frac{1}{8}$ 取 $v 8$ 。由 $u^{2} + v^{2} = x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} = 7$ ，得

$E (X^{2}) = u^{2} + v^{2} = 7, E X = \frac{7}{8} u + \frac{1}{8} v = \frac{7}{8} (x + 2 y)$

由 $E (X^{2}) \geq (E X)^{2}$ 得 $\frac{7}{8} (x + 2 y)^{2} \leq 7$ ，即 $x + 2 y \leq 22$ 。

对比

类型	取值特征	描述工具	例子
离散型随机变量	可一一列举	分布列	命中次数、骰子点数
连续型随机变量	充满某个区间	概率密度函数	身高、等待时间
普通变量	取值确定	方程或赋值	圆面积中的半径

离散型随机变量及其分布列

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

离散型随机变量及其分布列

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

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