锐角三角函数

定义

在直角三角形中，锐角 $A$ 的三角函数：

名称	定义	记号	读法
正弦	$\angle A$ 的对边与斜边的比	$\sin A=\frac{a}{c}$	sine
余弦	$\angle A$ 的邻边与斜边的比	$\cos A=\frac{b}{c}$	cosine
正切	$\angle A$ 的对边与邻边的比	$\tan A=\frac{a}{b}$	tangent

其中 $a$ 是 $\angle A$ 的对边，$b$ 是 $\angle A$ 的邻边（指那条直角边），$c$ 是斜边。

定位三条边的顺序是固定的：先找斜边——它是最长的边，也是直角所对的边；再找目标角的对边——它在角的正对面；剩下那条直角边就是邻边。三角形怎么旋转摆放都不影响这套判定。

三角函数值是一个比值，所以没有单位。它的大小只由角决定，与三角形画多大无关。

推导

设直角三角形中 $\angle C=90^{\circ }$，则对 $\angle A$：

• 对边 $BC=a$；
• 邻边 $AC=b$；
• 斜边 $AB=c$。

为什么比值只由角决定：取任意两个都含有锐角 $A$ 的直角三角形，由「两角对应相等」知它们相似，对应边成比例，于是

$\frac{a}{c}=\frac{a^{\prime }}{c^{\prime }},\frac{b}{c}=\frac{b^{\prime }}{c^{\prime }},\frac{a}{b}=\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$

三个比值都相等。可见这些比值只跟着 $\angle A$ 的大小走，与三角形的大小无关。这正是「函数」的含义：给定一个锐角 $A$，就有一个确定的比值与它对应。$■$

特殊值表

角 $A$	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$
$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

记这张表的办法：

• 三个正弦值的分子依次是 $\sqrt{1}$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$，分母都是 $2$
• 余弦恰好是正弦的反序（$30^{\circ }$ 与 $60^{\circ }$ 的值互换）
• 正切等于「正弦除以余弦」，不用单独背

真忘了某个值，画个图现推就行：含 $30^{\circ }$ 的直角三角形中，$30^{\circ }$ 角所对的边是斜边的一半；等腰直角三角形的两条直角边相等。两句话足矣。

同角的三条关系

同一个锐角 $A$ 的三个函数值满足：

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1,\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

第一条是勾股定理的直接结果——把 $a^2+b^2=c^2$ 两边同除以 $c^2$ 即得。已知其中一个值求其余两个，用的就是它。

互余两角的关系

若 $A+B=90^{\circ }$，则

$\sin A=\cos B,\cos A=\sin B$

理由很直观：一个锐角的邻边，正是另一个锐角的对边。这条关系的用处是在正弦与余弦之间互相转换。

取值范围

锐角 $A$ 的三个函数值都是正数；当 $A$ 从 $0^{\circ }$ 增大到 $90^{\circ }$ 时，$\sin A$ 与 $\tan A$ 逐渐增大，$\cos A$ 逐渐减小。

典例精析

在 Rt$△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$a=3$、$b=4$，求 $\angle A$ 的三角函数值。

由勾股定理，$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$。故

$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3}{5},\cos A=\frac{b}{c}=\frac{4}{5},\tan A=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}.$

再练一道用同角关系的：已知 $\sin A=\frac{5}{13}$，求 $\cos A$ 与 $\tan A$。

由 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 得

$\cos A=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$

（$A$ 是锐角，取正值），进而 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{5}{12}$。

这类题不必算出三边的具体长度，直接用两条关系即可。

对比

三角函数	分子	分母	锐角时的范围
$\sin A$	对边	斜边	$0<\sin A<1$
$\cos A$	邻边	斜边	$0<\cos A<1$
$\tan A$	对边	邻边	$\tan A>0$

与其他知识的联系

锐角三角函数是相似三角形的直接产物——没有相似，就没有「比值只跟角走」这件事。它是初中「几何」与高中「函数」的接点：这里只处理锐角，到了高中把定义搬到单位圆上，三角函数就变成了真正的周期函数。

往前连着两块内容：勾股定理（算第三条边）、解直角三角形（求边长与角度）。往后，正弦定理与余弦定理、任意角的三角函数都由它扩展而来。