圆周角定理

定义

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

设 $\angle BAC$ 是弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 所对的圆周角，$\angle BOC$ 是同弧所对的圆心角，其中 $O$ 为圆心。

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$

由此可得两条推论：

• 直径（或半圆）所对的圆周角是直角；
• 圆内接四边形的对角互补。

推导

设圆心为 $O$，圆周角为 $\angle BAC$，圆心角为 $\angle BOC$。按圆心 $O$ 与 $\angle BAC$ 的位置关系分三种情况证明。

情形 1：圆心 $O$ 在角的一边（如 $AB$）上。连接 $OC$，因 $OA=OC$，故 $△AOC$ 为等腰三角形，$\angle OAC=\angle OCA$。由三角形外角定理，$\angle BOC=\angle OAC+\angle OCA=2\angle BAC$，即 $\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$。

情形 2：圆心 $O$ 在 $\angle BAC$ 内部。作直径 $AD$，连接 $CD$。由情形 1，$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BOD$，$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle DOC$。两式相加得 $\angle BAC=\frac{1}{2}(\angle BOD+\angle DOC)=\frac{1}{2}\angle BOC$。

情形 3：圆心 $O$ 在 $\angle BAC$ 外部。作直径 $AD$，连接 $CD$。由情形 1，$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BOD$，$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle COD$。两式相减得 $\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD=\frac{1}{2}(\angle BOD-\angle COD)=\frac{1}{2}\angle BOC$。

情形	圆心位置	关键步骤
1	在角的一边上	外角定理直接得
2	在角内部	作直径，两式相加
3	在角外部	作直径，两式相减

三种情形合并即得圆周角定理。当 $\angle BOC=180^{\circ }$（即 $BC$ 为直径）时，$\angle BAC=90^{\circ }$，即直径所对圆周角为直角。

典例精析

例 1：已知弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 所对的圆心角为 $80^{\circ }$，求该弧所对的圆周角。

由圆周角定理，$\angle \text{圆周}=\frac{1}{2}\angle \text{圆心}=\frac{1}{2}\times 80^{\circ }=40^{\circ }$。故弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 所对圆周角为 $40^{\circ }$。

例 2：在圆中，$AB$ 是直径，$C$ 为圆上异于 $A,B$ 的点。求 $\angle ACB$ 的度数。

因 $AB$ 为直径，所对弧为半圆，圆心角为 $180^{\circ }$。由圆周角定理，$\angle ACB=\frac{1}{2}\times 180^{\circ }=90^{\circ }$，即 $△ACB$ 为直角三角形。

对比

角	顶点位置	与所对弧的关系
圆心角	圆心	等于所对弧度数
圆周角	圆上	等于所对弧度数的一半
同弧圆周角	圆上（同侧）	彼此相等
直径所对圆周角	圆上	恒为 $90^{\circ }$

与其他知识的联系

• 圆心角、弧、弦：同圆中圆心角、弧、弦”知一推二”，而圆周角把”弧的度数”与”角”联系起来，是弧弦角体系的核心桥梁。
• 勾股定理：直径所对圆周角为直角，使”直径 + 圆上一点”天然构成直角三角形，是圆中运用勾股定理求边长的入口。
• 相似三角形：同弧所对圆周角相等为相似提供等角依据，圆幂定理的证明正依赖这一条。
• 圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补是圆周角定理的直接推论，二者同源。