点与圆的位置关系

定义

设 $\odot O$ 半径为 $r$，点 $P$ 到圆心的距离 $OP=d$，则点与圆有三种位置关系：

位置关系	数量关系	点的集合语言
点在圆内	$d<r$	圆内是到圆心距离小于 $r$ 的点的集合
点在圆上	$d=r$	圆（圆周）是距离等于 $r$ 的点的集合
点在圆外	$d>r$	圆外是距离大于 $r$ 的点的集合

判定时只比两个数

全部内容就是比 $d$ 与 $r$ 的大小，其中 $d$ 必须是点到圆心的距离。题目给的是「点到圆周上某点的距离」时要先转到圆心上去，不能直接用——这是最常见的信息误读。

三个判断做的是同一个动作：算出 $OP$，再与 $r$ 比较。

点到圆上动点的距离：最值

设点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d$，$Q$ 是圆上的动点，则 $PQ$ 的取值范围随 $P$ 的位置而变：

$P$ 的位置	最短	最长
圆外（$d>r$）	$d-r$	$d+r$
圆上（$d=r$）	$0$	$2r$
圆内（$d<r$）	$r-d$	$r+d$

理由是三角形不等式：$||OP|-|OQ||\le PQ\le |OP|+|OQ|$，而 $|OQ|=r$ 是定值。两个极值都在 $P$、$O$、$Q$ 三点共线时取到。

这一组结论是「点在圆上运动」类最值题的标准工具，也是后面圆环一类轨迹问题的基础。

多点共圆怎么判

推论：若几个点到同一个点 $O$ 的距离都等于同一个值 $r$，则这几个点同在以 $O$ 为圆心、$r$ 为半径的圆上。这是多点共圆的基本判据。

由此立刻得到两条常用结论：

• 矩形、正方形的四个顶点共圆——对角线交点到四个顶点距离相等
• 任意三角形的三个顶点共圆——三条垂直平分线的交点（外心）到三个顶点距离相等

判断「四点共圆」时，先找到那个可能的圆心（通常是对角线的中点，或两条垂直平分线的交点），再逐一验证四点到它的距离是否都相等。

推导

圆的定义是「到定点 $O$ 的距离等于定长 $r$ 的所有点组成的图形」。任取一点 $P$，距离 $OP$ 是一个确定的非负数，它与 $r$ 比较大小只有小于、等于、大于三种互斥且穷尽的结果，故点与圆恰有三种位置关系，一一对应如下：

• $OP<r$：$P$ 到圆心的距离未达到半径，$P$ 被围在圆周内部；
• $OP=r$：$P$ 满足圆的集合定义，$P$ 在圆周上；
• $OP>r$：$P$ 到圆心的距离超过半径，$P$ 在圆周外部。$■$

典例精析

在 Rt$△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$、$AC=3$、$BC=4$，以 $C$ 为圆心、半径 $r=4$ 作圆，判断 $A$、$B$ 及斜边中点 $M$ 与圆的位置。

• $CA=3<4$，点 $A$ 在圆内；
• $CB=4=r$，点 $B$ 在圆上；
• 斜边 $AB=5$，斜边中线 $CM=\frac{1}{2}AB=2.5<4$，点 $M$ 在圆内。

再练一道最值题：点 $P$ 在 $\odot O$ 外，$OP=10$，圆半径 $r=6$，$Q$ 是圆上的动点，求 $PQ$ 的最大值与最小值。

$P$ 在圆外时，最短距离为 $d-r=10-6=4$，最长距离为 $d+r=10+6=16$，两者都在 $P$、$O$、$Q$ 三点共线时取到。

对比

研究对象	距离 d 的含义	三种关系
点与圆	点到圆心	内 / 上 / 外
直线与圆	圆心到直线的垂线段	相离 / 相切 / 相交
圆与圆	两圆心之间的圆心距	外离 / 外切 / 相交 / 内切 / 内含

与其他知识的联系

点与圆的位置关系是三种位置关系里最基础的一种，后两种（直线与圆、圆与圆）用的完全是同一套思路：把图形的位置关系翻译成某个距离与半径的大小比较。

它也是外接圆与四点共圆的支点——要说明几个点共圆，本质上就是说明它们到同一个点的距离都相等。往后，这套「距离 + 半径」的判定会走进坐标系，变成代数化的判定方法。