四点共圆的判定

定义

四点 $A$、$B$、$C$、$D$ 在同一个圆上，称这四点共圆，四边形 $ABCD$ 叫圆内接四边形。常用判定：

1. 角判定：四边形的一组对角互补（$\angle A+\angle C=180^{\circ }$），或一个外角等于它的内对角，则四点共圆；
2. 张角判定：点 $C$、$D$ 在线段 $AB$ 的同侧，且对 $AB$ 的张角 $\angle ACB=\angle ADB$，则四点共圆；
3. 异侧判定：点 $C$、$D$ 在 $AB$ 异侧，且 $\angle ACB+\angle ADB=180^{\circ }$，则四点共圆。

推导

判定 1（对角互补）：设四边形 $ABCD$ 中 $\angle A+\angle C=180^{\circ }$。

过 $A、B、D$ 三点作圆（不共线三点确定唯一圆）。反设点 $C$ 不在此圆上：

• 若 $C$ 在圆外，设 $BC$ 与圆交于 $C^{\prime }$，则圆内接四边形 $AB{C}^{\prime }D$ 满足 $\angle A+\angle B{C}^{\prime }D=180^{\circ }$。又题设 $\angle A+\angle C=180^{\circ }$，故 $\angle B{C}^{\prime }D=\angle C$；但在 $△C{C}^{\prime }D$ 中，外角 $\angle B{C}^{\prime }D$ 应大于不相邻内角 $\angle C$，矛盾。
• $C$ 在圆内时同理（射线与圆交于圆上点，外角不等式反向矛盾）。

故 $C$ 只能在过 $A、B、D$ 的圆上，四点共圆。$■$

外角等于内对角的情形：四边形在 $C$ 处的外角与 $\angle C$ 互补，题设它又等于内对角 $\angle A$，故 $\angle A+\angle C=180°$，归入判定 1。$■$

判定 2（同侧张角相等）：过 $A、B、C$ 作圆，设直线 $AD$ 与该圆除 $A$ 外的另一个交点为 $D^{\prime }$。$C、D^{\prime }$ 在 $AB$ 同侧，由圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，故 $\angle A{D}^{\prime }B=\angle ACB$。题设 $\angle ADB=\angle ACB$，于是 $\angle A{D}^{\prime }B=\angle ADB$。

若 $D$ 在圆外，$D^{\prime }$ 在线段 $AD$ 上，$\angle A{D}^{\prime }B$ 是 $△B{D}^{\prime }D$ 的外角，应有 $\angle A{D}^{\prime }B>\angle ADB$，矛盾；若 $D$ 在圆内，$D$ 在线段 $A{D}^{\prime }$ 上，$\angle ADB$ 是 $△BD{D}^{\prime }$ 的外角，应有 $\angle ADB>\angle A{D}^{\prime }B$，矛盾。故 $D$ 只能在圆上。$■$

判定 3（异侧张角互补）：把四点按 $A、C、B、D$ 的顺序连接成四边形 $ACBD$，则顶点 $C$ 处的内角正是 $\angle ACB$，顶点 $D$ 处的内角正是 $\angle ADB$，二者恰为该四边形的一组对角。题设给出 $\angle ACB+\angle ADB=180°$，由判定 1 立即得 $A、C、B、D$ 四点共圆。$■$

特例：$\angle ACB=\angle ADB=90^{\circ }$ 时，无论同侧异侧都共圆，且 $AB$ 是公共直径——这是「斜边对直角」判定的来源。

典例精析

例 1（斜边对直角）在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$，求证四点共圆，并指出直径。

$\angle ABC$ 与 $\angle ADC$ 都对线段 $AC$ 张角且都等于 $90^{\circ }$（相等），由张角判定 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点共圆；$90^{\circ }$ 的圆周角所对的弦是直径，故 $AC$ 是该圆直径。

例 2（对角互补判定）四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=110^{\circ }$、$\angle C=70^{\circ }$，判断四点是否共圆。

$\angle A+\angle C=110^{\circ }+70^{\circ }=180^{\circ }$，一组对角互补，由判定 1，$A$、$B$、$C$、$D$ 四点共圆。

易错：判定 1 要求「对角」互补，即 $\angle A$ 与 $\angle C$、$\angle B$ 与 $\angle D$。若只给出相邻两角互补（如 $\angle A+\angle B=180^{\circ }$），那是两直线平行的条件，不能判共圆。

对比

已知条件	位置	判定
四边形对角互补	—	共圆（判定 1）
外角 = 内对角	—	共圆（判定 1 推论）
对同线段张角相等	两点同侧	共圆（判定 2）
对同线段张角互补	两点异侧	共圆（判定 3）

与其他知识的联系

• 圆内接四边形的性质：本页判定与”圆内接四边形对角互补”互为逆命题——性质是”共圆 → 对角互补”，判定是”对角互补 → 共圆”，二者常配套使用。
• 圆周角：张角判定（同侧张角相等）本质是圆周角定理的逆用：同弧所对圆周角相等，反过来等角顶点共圆。
• 确定圆的条件：证明过程反复用”不共线三点确定唯一圆”，是确定圆条件在共圆判定中的直接应用。
• 反证法：判定 1、2 的证明都用反证法（反设点不在圆上，导出外角不等式矛盾），是反证法的典型范例。