辅助角公式

定义

辅助角公式（合一变形）：对常数 $a,b$（不全为零）与任意角 $x$，

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

其中辅助角 $\phi$ 满足

$\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\tan \phi =\frac{b}{a}$

余弦形态：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x-\theta )$，其中 $\tan \theta =\frac{a}{b}$。

推导

由和角公式 $\sin (x+\phi )=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$，希望

$a\sin x+b\cos x=R(\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi )$

比较系数得 $R\cos \phi =a$，$R\sin \phi =b$。两式平方相加：

$R^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )=a^2+b^2⟹R=\sqrt{a^2+b^2}$

于是 $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，这样的 $\phi$ 总能在 $[0,2\pi )$ 内取到，公式成立。$■$

典例精析

例 1：求 $f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$ 的最大值及取等时的 $x$。

$R=\sqrt{1+3}=2$，取 $\cos \phi =\frac{1}{2}$、$\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$，即 $\phi =\frac{\pi }{3}$：

$f(x)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 2$

当 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 时取到最大值 $2$。

例 2：求函数 $f(x)=\sqrt{7}\cos x+\sin x$ 的振幅。

$R=\sqrt{7+1}=2\sqrt{2}$，$\tan \phi =\sqrt{7}$，故 $f(x)=2\sqrt{2}\sin (x+\phi )$，振幅为 $2\sqrt{2}$，值域 $[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$。

对比

形式	振幅	辅助角确定	适用场景
$a\sin x+b\cos x$	$\sqrt{a^2+b^2}$	$\tan \phi =\frac{b}{a}$，看 $a,b$ 定象限	求最值、周期
$\sin x+\sqrt{3}\cos x$	$2$	$\phi =\frac{\pi }{3}$	特殊角直接写
$a\sin x+b\cos x$（余弦形态）	$\sqrt{a^2+b^2}$	$\tan \theta =\frac{a}{b}$	配余弦平移