三角函数

定义

弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度（记 $1\text{rad}$）。圆周角 $=2\pi \text{rad}=360^{\circ }$。换算：

$1\text{rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57.3^{\circ },1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}$

任意角三角函数：在角 $\theta$ 终边上任取一点 $P(x,y)$（$P$ 不与原点重合），令 $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$，定义：

• 正弦：$\sin \theta =\frac{y}{r}$
• 余弦：$\cos \theta =\frac{x}{r}$
• 正切：$\tan \theta =\frac{y}{x}$（$x\ne 0$，即 $\theta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$）

推导

同角三角函数关系：

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }(\cos \theta \ne 0)$

诱导公式（口诀”奇变偶不变，符号看象限”）：

公式	结果
$\sin (\pi +\theta )$	$-\sin \theta$
$\cos (\pi +\theta )$	$-\cos \theta$
$\sin (\pi -\theta )$	$\sin \theta$
$\cos (\pi -\theta )$	$-\cos \theta$
$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$	$\cos \theta$
$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$	$\sin \theta$
$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$	$\cos \theta$
$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$	$-\sin \theta$

三角函数的图象与性质：

函数	定义域	值域	周期	奇偶性	单调性
$y=\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$	奇	$\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 增
$y=\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$	偶	$\left[2k\pi -\pi ,2k\pi \right]$ 增
$y=\tan x$	$\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$	$\mathbb{R}$	$\pi$	奇	$\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 增

典例精析

例 1：化简 $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)$。

$\frac{3\pi }{2}=\frac{3}{2}\cdot \pi$，相当于 $3\cdot \frac{\pi }{2}$，由”奇变偶不变”，$3$ 是奇数，函数名变（$\sin \to \cos$）；$\theta$ 视为锐角时 $\frac{3\pi }{2}-\theta$ 在第三象限，$\sin$ 在三象限负，故 $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)=-\cos \theta$。

例 2：求函数 $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的周期、最大值及取得最大值时 $x$ 的集合。

周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；最大值 $2$，当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时取得，即 $2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，$x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$。

故最大值 $2$，取得时 $x\in \left\{\frac{5\pi }{12}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$。

例 3：已知 $\sin \theta =\frac{3}{5}$（$\theta$ 为第二象限角），求 $\cos \theta$、$\tan \theta$。

由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 得 ${\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$，$\theta$ 在二象限 $\cos \theta <0$，故 $\cos \theta =-\frac{4}{5}$。

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$。

对比

函数	图象形态	周期	关键点
$y=\sin x$	正弦波	$2\pi$	过原点、$\left(\frac{\pi }{2},1\right)$ 取最大
$y=\cos x$	余弦波	$2\pi$	过 $(0,1)$、$\pi$ 处取最小
$y=\tan x$	渐近线分段	$\pi$	过原点、$\frac{\pi }{2}$ 处无定义