函数的概念与性质

推导

单调性：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subseteq D$。

• 在 $I$ 上单调递增：若任意 $x_1<x_2\in I$，有 $f(x_1)<f(x_2)$；
• 在 $I$ 上单调递减：若任意 $x_1<x_2\in I$，有 $f(x_1)>f(x_2)$。

奇偶性：设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。

• 偶函数：对任意 $x\in D$，$f(-x)=f(x)$，图象关于 $y$ 轴对称；
• 奇函数：对任意 $x\in D$，$f(-x)=-f(x)$，图象关于原点对称。

最大值与最小值：设函数 $f(x)$ 定义域为 $D$，若存在 $x_0\in D$ 使任意 $x\in D$ 有 $f(x)\le f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 在 $D$ 上的最大值；最小值类似定义。

典例精析

例 1：判断 $f(x)=x^3+x$ 的奇偶性。

定义域 $\mathbb{R}$ 关于原点对称。

$f(-x)=(-x{)}^3+(-x)=-x^3-x=-f(x)$，故 $f(x)$ 是奇函数。

例 2（辨析）：有人说 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，用定义验证这个说法对不对。

任取 $0<x_1<x_2$，

$f(x_1)-f(x_2)=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1{x}_2}\right)$

由 $x_1<x_2$ 知 $x_1-x_2<0$；由 $0<x_1<x_2$ 知 $x_1{x}_2>0$ 且当 $x_1{x}_2>1$ 时 $\left(1-\frac{1}{x_1{x}_2}\right)>0$，故 $f(x_1)-f(x_2)<0$ 即 $f(x_1)<f(x_2)$，函数递增。

但 $x_1{x}_2<1$ 时 $f(x_1)>f(x_2)$，故 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上递减、$[1,+\infty )$ 上递增，并非整体递减。

例 3：求函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{3-x}}$ 的定义域。

需 $x-1\ge 0$ 且 $3-x>0$，即 $x\ge 1$ 且 $x<3$，故定义域 $[1,3)$。

对比