整式：单项式与多项式

定义

单项式：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式：单项式与多项式统称整式。

单项式的系数与次数

系数要连同前面的符号一起看：$-5x^{2}y$ 的系数是 $-5$，不是 $5$。次数只数字母的指数：$-5x^{2}y$ 的次数是 $2+1=3$，与系数 $-5$ 无关；即使系数本身带乘方（如 $2^{3}xy$），次数也只算字母部分，为 $1+1=2$。

两个高频考点：$\pi$ 是数不是字母，所以 $\pi r^2$ 的系数是 $\pi$、次数是 $2$；单独一个非零的数（如 $7$）是单项式，次数为 $0$，而 $0$ 作为单项式，其次数不作讨论。

多项式的项与次数

说多项式的项时，每一项都要包括它前面的符号。$2x^2-3x+1$ 的项是 $2x^2$、$-3x$、$1$，其中 $1$ 是常数项；次数最高的项 $2x^2$ 的次数为 $2$，所以这个多项式叫「二次三项式」。说「几次几项式」时，「几」要用中文数字书写，不写阿拉伯数字。

整式的判定

整式的结构特征是分母中不含字母。$\frac{1}{x}$、$\frac{2}{a+b}$ 分母含字母，不是整式（它们将在八年级以「分式」的身份出现）；而 $\frac{x}{2}$、$\frac{a+b}{3}$ 分母是数，属于整式——判断时只看分母，分子含字母不影响。像 $\sqrt{x}$ 这类被开方数含字母的式子也不是整式。

降幂与升幂排列

为便于观察与运算，常把多项式按某一个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）排列。如把 $3x^2-1+4x^3-x$ 按 $x$ 降幂排列为

$4x^3+3x^2-x-1$

排列时每一项连同它的符号一起移动，常数项在降幂排列中放在最后，在升幂排列中放在最前。

典例精析

填表：

单项式	系数	次数
$-\frac{2x{y}^2}{3}$	$-\frac{2}{3}$	$3$
$\pi r^2$	$\pi$	$2$
$-a$	$-1$	$1$

多项式 $-x^3+2x^{2}y-5y^2+x-7$：项为 $-x^3$、$2x^{2}y$、$-5y^2$、$x$、$-7$，共五项；次数最高的项是 $-x^3$ 与 $2x^{2}y$（都是 $3$ 次），所以它是三次五项式，常数项是 $-7$。

判断：$\frac{3}{a}$ 不是整式（分母含字母）；$\frac{a}{3}$ 是整式；$2x^2-x+1$ 是整式（它是多项式）。

与其他知识的联系

整式是代数式中最规整的一类。紧接着要学的同类项、合并同类项与去括号，都以单项式、多项式的概念为语言基础，合起来构成「整式的加减」这一章。再往后，一元一次方程的两边都是整式；分式、二次根式则是整式概念的自然延伸。