有理数的乘方、科学记数法与近似数

定义

乘方：求 $n$ 个相同因数 $a$ 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作 $a^n$。在 $a^n$ 中，$a$ 叫做底数，$n$ 叫做指数，$a^n$ 读作「$a$ 的 $n$ 次方」或「$a$ 的 $n$ 次幂」。

$a^n=\underset{n\text{ 个 }a}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}}$

科学记数法：把一个大于 $10$ 的数表示成 $a\times 10^n$ 的形式（其中 $1\le a<10$，$n$ 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。

近似数：与实际完全符合的数是准确数；接近准确数而不等于准确数的数是近似数。近似数由四舍五入（或按要求截取）到哪一位，就说它精确到哪一位。

乘方的符号规则

• 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
• 正数的任何次幂都是正数；
• $0$ 的任何正整数次幂都是 $0$。

符号规则其实就是乘法「奇负偶正」在相同因数情形下的特例：$n$ 个负数相乘，负因数恰有 $n$ 个，$n$ 为奇数则积为负，$n$ 为偶数则积为正。例如 $(-2{)}^3=-8$，$(-2{)}^4=16$。乘方是乘法的简便写法，因此乘方运算先定符号、再算绝对值的幂即可。

重点辨析：$-2^2$ 与 $(-2{)}^2$

$-2^2$ 的底数是 $2$，它表示 $2^2$ 的相反数，即 $-(2\times 2)=-4$；$(-2{)}^2$ 的底数是 $-2$，表示两个 $-2$ 相乘，即 $(-2)\times (-2)=4$。二者意义与结果都不同，判断的关键是看负号是否连同数字一起被括号包住。

同理，$-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=-\frac{4}{9}$，而 ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$；$\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$，而 ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$。遇到乘方先问自己一句：底数到底是谁。

科学记数法

用科学记数法表示一个大于 $10$ 的数时，$a$ 是整数位数只有一位的数（$1\le a<10$），$n$ 等于原数的整数位数减 $1$。例如

$696000=6.96\times 10^5,1000000=1\times 10^6$

反过来把 $a\times 10^n$ 还原时，把 $a$ 的小数点向右移动 $n$ 位即可，位数不够用 $0$ 补足。用科学记数法表示的近似数，精确度要看 $a$ 的最后一位数字在原数中的位置，如 $3.20\times 10^4=32000$，其中 $a$ 的末位 $0$ 在百位上，所以它精确到百位。

近似数与精确度

取近似数常用四舍五入法：精确到哪一位，就看它下一位的数字决定舍或入。$3.2$ 精确到十分位，$3.20$ 精确到百分位，二者精确度不同——$3.20$ 末尾的 $0$ 不能随便去掉，它表示取值精确到了百分位。像 $1.8$ 万这类带计数单位的近似数，要还原成 $18000$ 再看末位数字 $8$ 在千位上，所以它精确到千位。

典例精析

计算：$(-3{)}^2=9$；$-3^2=-9$；${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$；$(-1{)}^{2026}=1$（偶次幂为正）。

用科学记数法表示：$40500000=4.05\times 10^7$；地球与太阳的平均距离约 $149600000$ 千米 $=1.496\times 10^8$ 千米。

按精确度取近似数：$0.03057$ 精确到千分位得 $0.031$；$47960$ 精确到千位并用科学记数法表示，得 $4.8\times 10^4$。

与其他知识的联系

乘方是乘法的简便写法，又是将来开方（平方根、立方根）的逆运算对象，七年级下册的平方根正是乘方的反问题。科学记数法在物理、地理中表示天文数字与微观量时天天用到；近似数的精确度思想，是今后有效数字与误差分析的入门。乘方中「指数写在右上角」的记法，也会在整式中演变为字母的次数。

对比

底数	指数奇偶	幂的符号
正数	任意	正
负数	偶数	正
负数	奇数	负
0	正整数	0

形式	意义	结果
$-2^2$	$-(2\times 2)$	$-4$
$(-2{)}^2$	$(-2)\times (-2)$	$4$

科学记数法写成 $a\times 10^n$，其中 $1\le a<10$，本节 $n$ 为正整数。