指数函数

定义

指数幂：设 $a>0$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘。推广到分数与无理数指数幂：

$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}(a>0,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

指数函数：函数 $y=a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）叫作指数函数，其中 $x$ 是自变量，$a$ 是底数。定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,+\infty )$。

推导

指数幂的运算性质（$a,b>0$，$r,s\in \mathbb{R}$）：

1. $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$；
2. $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$；
3. $(a^r{)}^s=a^{rs}$；
4. $(ab{)}^r=a^r{b}^r$。

指数函数的图象与性质：

性质	$a>1$	$0<a<1$
定义域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
值域	$(0,+\infty )$	$(0,+\infty )$
定点	过 $(0,1)$	过 $(0,1)$
单调性	单调递增	单调递减
当 $x>0$ 时	$y>1$	$0<y<1$
当 $x<0$ 时	$0<y<1$	$y>1$
图象走向	自左向右上升	自左向右下降

图象对称性：$y=a^x$ 与 $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称。

典例精析

例 1：比较 $2^{1.5}$ 与 $2^{1.4}$ 的大小。

底数 $a=2>1$，指数函数 $y=2^x$ 单调递增。

由 $1.5>1.4$ 得 $2^{1.5}>2^{1.4}$。

例 2：求函数 $y=2^{x^2-2x}$ 的单调区间。

外层 $y=2^u$ 单调递增，复合 $u=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$。

$u$ 在 $(-\infty ,1]$ 上递减、$[1,+\infty )$ 上递增，故：

• 在 $(-\infty ,1]$ 上 $y$ 递减；
• 在 $[1,+\infty )$ 上 $y$ 递增。

例 3：化简 $\frac{a^2\cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}}$（$a>0$）。

$\frac{a^2\cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}}=\frac{a^2\cdot a^{1/3}}{a^{1/2}}=a^{2+1/3-1/2}=a^{11/6}$

对比

项目	$a>1$（如 $y=2^x$）	$0<a<1$（如 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$）
单调性	递增	递减
$x\to +\infty$	$y\to +\infty$	$y\to 0$
$x\to -\infty$	$y\to 0$	$y\to +\infty$
应用	增长型（人口、复利）	衰减型（半衰期）