分式的概念与基本性质

定义

分式：形如 $\frac{A}{B}$ 的式子，其中 $A$、$B$ 均为整式，$B$ 中含有字母且 $B\ne 0$。

• $A$ 称为分子，$B$ 称为分母；
• 分母 $B$ 中含字母，是分式区别于整式的关键。

判定的唯一标准是分母里有没有字母，与式子的长相无关：$\frac{x}{2}$ 是整式，$\frac{2}{x}$ 是分式。

三种常见问法

问法	条件	说明
分式有意义	分母 $B\ne 0$	只看分母
分式无意义	分母 $B=0$	只看分母
分式的值为 $0$	分子 $A=0$ 且 分母 $B\ne 0$	两个条件缺一不可

第三种最容易出错：由分子解出字母的值之后，必须代回分母检验，使分母为零的要舍去。这与后面分式方程的验根是同一件事。

推导

分式的基本性质：分式的分子分母同乘（或同除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。即

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot M}{B\cdot M}=\frac{A÷M}{B÷M}(M\ne 0)$

它是约分与通分的共同依据，也是分式与分数在结构上的对应点。

由此衍生两类操作：

1. 约分：把分子分母的公因式约去，化为最简分式（分子分母不再有公因式）
2. 通分：把几个分母不同的分式化为分母相同的分式，分母取各分母的最简公分母

约分的步骤

先分解因式，再约去公因式——两步不能颠倒：

$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$

结果 $x-2$ 是整式，但它与原分式并不完全等同：原分式还要求 $x\ne -2$。约去分母时悄悄放掉的这个条件，正是后面分式方程产生增根的根源。

最简公分母怎么找

1. 系数取各分母系数的最小公倍数
2. 字母因式取各分母中都出现的字母的最高次幂
3. 上面两部分相乘

例如 $\frac{1}{2x}$ 与 $\frac{1}{3x^{2}y}$ 的最简公分母是 $6x^{2}y$。公分母找对了，通分与去分母就不会出错。

符号法则

分子、分母、分式本身这三处符号中，同时改变任意两处，分式的值不变：

$\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

化简时通常把负号统一提到分式前面，避免负号散落各处导致后续运算出错。

典例精析

例 1：当 $x$ 取何值时，分式 $\frac{x-3}{x^2-4}$ 有意义？

分母 $x^2-4\ne 0$，即 $(x+2)(x-2)\ne 0$，故 $x\ne 2$ 且 $x\ne -2$。所以当 $x\ne \pm 2$ 时分式有意义。

例 2：当 $x$ 取何值时，分式 $\frac{|x|-3}{x+3}$ 的值为 0？

分子 $|x|-3=0$ 得 $x=\pm 3$；代入分母检验：

• $x=3$ 时 $x+3=6\ne 0$，分式值为 0，成立；
• $x=-3$ 时 $x+3=0$，分式无意义，舍去。

故当 $x=3$ 时分式值为 0。

对比

项目	分数	分式
分母构成	具体非零数	整式（含字母，须 $B\ne 0$）
有意义条件	分母 $\ne 0$	分母 $\ne 0$（解字母方程）
基本性质	分子分母同乘除非零数	分子分母同乘除非零整式
约分通分	公因数 / 最小公倍数	公因式 / 最简公分母

与其他知识的联系

分式是分数的代数化：分数的基本性质、约分、通分在这里全部保留，只是把「数」换成了「整式」。所以学好分式的关键在前一章——因式分解。约分要先看出公因式，通分要先分解分母，分解这一步做不下去，后面就无从下手。

它的两个直接下游是分式的运算与分式方程：运算靠通分与约分完成，解方程靠去分母完成。而去分母时放掉的那个条件，正是本页反复强调的「分母不为零」——这也解释了为什么分式方程必须验根。