因数和倍数以及 2、3、5 的倍数特征

定义

如果 $a\times b=c$（$a$、$b$、$c$ 都是非零自然数），那么：

• $a$ 和 $b$ 是 $c$ 的因数
• $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的倍数

例如 $3\times 4=12$，则 3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。

两条必须记住的性质：

	个数	最小	最大
因数	有限	1	它本身
倍数	无限	它本身	无

因数和倍数是「关系」，不是「属性」

这是本章第一个大坑，也是判断题的常客。

错误说法：「12 是倍数」「3 是因数」

正确说法：「12 是 3 的倍数」「3 是 12 的因数」

原因：因数和倍数描述的是两个数之间的关系，单独一个数谈不上是谁的因数或倍数。这一点与「倒数」「同桌」是同一类概念。

课堂上可以这样纠正：学生说「12 是倍数」时，追问一句**「它是谁的倍数？」**——他答不上来，就知道说法有问题了。

2、5、3 的倍数特征

倍数	特征	判断方法
2 的倍数	个位是 0、2、4、6、8	只看个位
5 的倍数	个位是 0 或 5	只看个位
3 的倍数	各位数字之和是 3 的倍数	要把各位相加

2 和 5 看个位，3 看各位数字之和——这一句是核心，也是学生最容易记混的地方。

为什么 3 的倍数不能看个位

学生学完 2 和 5 之后，会习惯性地用「看个位」去判断 3 的倍数，于是认为 123（个位是 3）不是 3 的倍数——实际上 $123÷3=41$，是。

正确做法：$1+2+3=6$，6 是 3 的倍数，所以 123 是 3 的倍数。

为什么？因为在十进制下，一个数与它的各位数字之和，除以 3 的余数相同。小学阶段不要求证明，但可以通过大量举例让学生自己发现规律。

讲的时候可以对比着举一组数：

数	个位	各位之和	是 2 的倍数	是 5 的倍数	是 3 的倍数
24	4	6	是	否	是
35	5	8	否	是	否
120	0	3	是	是	是

120 同时是 2、5、3 的倍数——因为它个位是 0（满足 2 和 5），各位和是 3（满足 3）。

找一个数的因数：成对找，不遗漏

找 18 的因数：

$$\begin{array}{rl}1\times 18& =18\\ 2\times 9& =18\\ 3\times 6& =18\end{array}$$

所以 18 的因数有：1、2、3、6、9、18。

方法是成对找：从 1 开始，一对一对写，写到两个数「碰头」或交叉为止。这样不会遗漏，也不会重复。

学生常犯的错是只找到 2、3、6、9 就停手，漏掉 1 和 18。提醒：因数一定包括 1 和它本身。

典例精析

例 1 找出 24 的所有因数。

成对找：$1\times 24$、$2\times 12$、$3\times 8$、$4\times 6$。

所以 24 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共 8 个。

例 2 写出 7 的前 5 个倍数。

7、14、21、28、35。（倍数的个数是无限的，只能写前几个。）

例 3 判断 123、456、1001 是不是 3 的倍数。

$1+2+3=6$ ✓ 是

$4+5+6=15$ ✓ 是

$1+0+0+1=2$ ✗ 不是

例 4 一个数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，还是 3 的倍数，最小是多少？

既是 2 的倍数又是 5 的倍数 → 个位是 0；还要是 3 的倍数 → 各位和是 3 的倍数。

最小的是 30（$3+0=3$）。

例 5 判断：「因为 $2\times 3=6$，所以 2 和 3 是因数，6 是倍数。」这句话对吗？

不对。应该说「2 和 3 是 6 的因数，6 是 2 和 3 的倍数」。

课堂上的真实错法

错法一：单独说某个数是因数或倍数。 用「它是谁的？」追问纠正。

错法二：把 0 拉进来。 说「0 是任何数的倍数」。提醒：只在非零自然数范围内研究。

错法三：3 的倍数看个位。 用 123 这种反例打破，再讲各位数字之和。

错法四：找因数漏掉 1 和本身。 用「成对找」的方法，并检查首尾。

错法五：认为因数个数无限。 用表格对比「因数有限、倍数无限」，配上一个具体例子（6 的因数只有 4 个，倍数写不完）。

给家长的讲法

这一章最该纠正的是说话方式。孩子说「12 是倍数」时，别直接说错，就问他一句：「它是谁的倍数呀？」 他一愣，就知道问题在哪了。

倍数特征可以用超市小票练：随便找一个价格（如 123 元），让孩子判断它是不是 3 的倍数、2 的倍数。他会发现「3 的倍数要看各位相加」这件事有点反直觉，多练几次就记住了。

找因数的方法只教一句：成对找，从 1 开始。 孩子按这个方法做，不会漏。