反比例函数

定义

反比例函数：形如

$y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$

的函数称为反比例函数，其中 $k$ 为常数，称为比例系数。自变量 $x$ 的取值范围是 $x\ne 0$。

三条限制要同时记住：$k\ne 0$、$x\ne 0$、$y\ne 0$。函数值也永不为 $0$——因为分子 $k\ne 0$，而分式的值要等于 $0$ 只能分子为零。这也是它的图象永远碰不到两条坐标轴的代数原因。

反比例函数有三种等价形式：

$y=\frac{k}{x}⟺xy=k⟺y=k{x}^{-1}$

其中 $xy=k$ 最能体现本质：两个变量的乘积是常数。所以判断两个量是否成反比例，只看它们的乘积是不是定值——路程一定时速度与时间成反比例，矩形面积一定时长与宽成反比例。

其图象是双曲线，两支分别位于两个象限。当 $k>0$ 时图象位于第一、三象限；当 $k<0$ 时图象位于第二、四象限。两支永不与坐标轴相交，只会无限靠近它们—— $x$ 轴与 $y$ 轴就是它的渐近线。

$k$ 的几何意义

这是本章最常考的一条性质：在图象上任取一点 $P(x,y)$，向两条坐标轴作垂线，与两条坐标轴围成的矩形面积为

$S=|x|\cdot |y|=|xy|=|k|$

也就是说，双曲线上任意一点与两坐标轴围成的矩形面积恒为 $|k|$，与点的位置无关。连接 $OP$ 后，相应的直角三角形面积则为 $\frac{|k|}{2}$。

做题时常反过来用：已知矩形或三角形的面积求解析式时，先由面积定出 $|k|$，再由图象所在象限定符号。这一步不必设点坐标，直接用面积，又快又不易错。

对称性

• 中心对称：整个图象关于原点中心对称。把 $(x,y)$ 换成 $(-x,-y)$，$(-x)(-y)=xy=k$ 仍然成立
• 轴对称：图象关于直线 $y=x$ 与 $y=-x$ 都成轴对称

所以它的对称性强于一般函数：既中心对称又轴对称，两条对称轴再加一个对称中心。

增减性怎么说才对

在每个象限内（即在每一支上）：

• $k>0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；
• $k<0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。

「在每一支上」这个限制不能丢。跨象限比较一定会出错：以 $y=\frac{6}{x}$ 为例，$x=-1$ 时 $y=-6$，$x=1$ 时 $y=6$，$x$ 增大了而 $y$ 反而增大了，与上面的结论看似矛盾——差别就在两点不在同一支上。

怎么求解析式

反比例函数只有一个待定系数 $k$，所以知道一个点的坐标就够了（一次函数需要两个点）。把点的坐标代入 $xy=k$ 直接得 $k$。

与一次函数的交点

求两个函数图象的交点，把两个解析式联立成方程组求解。若只问「谁在上、谁在下」，则不必解方程，在同一张图上按横坐标比较两条曲线的高低即可——这是数形结合最典型的一类题。

对比

反比例函数与一次函数对照如下：

项目	一次函数 $y=kx+b$	反比例函数 $y=\frac{k}{x}$
解析式	$y=kx+b$	$y=\frac{k}{x}$
图象	直线	双曲线
自变量范围	全体实数	$x\ne 0$
增减性	$k>0$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而增大	$k>0$ 时每一支上 $y$ 随 $x$ 增大而减小
与原点关系	可能过原点	关于原点对称，不过原点
求解析式	需两个点（待定系数法）	只需一个点
对称性	一般没有	关于原点中心对称，且关于 $y=\pm x$ 轴对称

典例精析

例 1：已知点 $(2,3)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，求 $k$ 的值。

把 $(2,3)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $3=\frac{k}{2}$，解得 $k=6$。故解析式为 $y=\frac{6}{x}$，图象位于第一、三象限。

例 2：判断 $y=\frac{1}{x}$ 是否为反比例函数。

是。$y=\frac{1}{x}$ 即 $y=\frac{k}{x}$ 中 $k=1\ne 0$ 的情形，是反比例函数，图象位于第一、三象限。

而 $y=\frac{1}{x}+2$ 可改写为 $y=\frac{1+2x}{x}$，分子含 $x$ 项，不满足 $y=\frac{k}{x}$ 形式，不是反比例函数。

例 3：点 $P$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，$PA\perp x$ 轴于 $A$，$PO$ 与坐标轴围成的直角三角形面积为 $4$，且图象位于第二、四象限，求解析式。

由 $k$ 的几何意义，过 $P$ 作两轴垂线所得矩形面积为 $|k|$，而三角形面积是它的一半，故 $\frac{|k|}{2}=4$，得 $|k|=8$。图象在第二、四象限说明 $k<0$，故 $k=-8$，解析式为

$y=-\frac{8}{x}$

例 4：求 $y=\frac{4}{x}$ 与 $y=x$ 的交点坐标。

联立 $\frac{4}{x}=x$，得 $x^2=4$，故 $x=\pm 2$，对应的 $y$ 分别为 $2$、$-2$。交点为 $(2,2)$ 与 $(-2,-2)$——两点关于原点对称，这与「双曲线关于原点中心对称」是一致的，可用来快速检验结果。

常见错：把 $y=\frac{1}{x}+2$ 当作反比例函数。它只是「在某个反比例函数上加了常数」，通分后分子不是常数，不满足 $y=\frac{k}{x}$ 的形式，不是反比例函数。

与其他知识的联系

反比例函数是初中最后一个基本函数，它把「乘积一定」这一数量关系用图象表达出来：矩形面积一定时长与宽、路程一定时速度与时间、压力一定时压强与受力面积，都是它的实际原型。

它的研究套路与一次函数、二次函数完全一致（解析式 → 图象 → 性质 → 应用），学到这里应当能自己复述这套流程。往后，增减性必须限定区间的说法会被推广为高中的「单调区间」；而 $y=\frac{k}{x}$ 这种形式，也会以双曲线的身份重新出现在解析几何中。